Si $\frac1x-\frac1y=\frac1z$ , $d=\gcd(x,y,z)$ entonces $dxyz$ y $d(y-x)$ son cuadrados

Question

Sea $x, y, z$ sean tres enteros no negativos tales que $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}$ . Denotemos por $d$ el máximo común divisor de $x, y, z$ .

Demostrar que $dxyz$ y $d(y-x)$ son números cuadrados.

Mi idea es que si $x=da, y=db, z=dc$ donde $\gcd(a, b, c)=1$ entonces $c(b-a)=ba$ . Pero no sé qué hacer a continuación.

Answer 1

Basta con demostrar que $d (y - x)$ es un cuadrado, porque $$\tag{id}(y - x) z = x y,$$ y así $$ d (y - x) z^{2} = d x y z. $$

Sea $p$ sea un primo, y sea $p^{a}, p^{b}, p^{c}$ sean las potencias más altas de $p$ que dividen respectivamente $x, y, z$ .

Veamos (el exponente de) las potencias más altas de $p$ que divide $y - x$ .

Si $a \ne b$ la máxima potencia de $p$ que divide $y - x$ es $\min(a, b)$ . Comparación de las potencias de $p$ en (id) obtenemos así $$ \min(b, a) + c = a + b, $$ para que $c = \max(a, b)$ .

Esto implica que la mayor potencia de $p$ que divide $d (y - x)$ es $$ \min(a, b, c) + \min(b, a) = 2 \min(b, a). $$

Consideremos el caso $a = b$ . Escribir $x = p^{a} x'$ , $y = p^{a} y'$ obtenemos $$ p^{a} (y' - x') z = x' y' p^{2 a}. $$ Por lo tanto, si $e$ es la mayor potencia de $p$ que divide $y' - x'$ tenemos $e + c = a$ de modo que $c \le a$ . Así pues, en este caso, la mayor potencia de $p$ que divide $d (y - x)$ es $c + a + e = 2 a$ .

Hemos demostrado que la mayor potencia de cada primo que divide a $d (y - x)$ tiene exponente par. Así $d (y - x)$ es un cuadrado.

Answer 2

Tenemos $$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$$ y $d = (x, y, z)$ . Sea $x = dx'$ , $y = dy'$ , $z = dz'$ . Multiplicando ambos lados por $d$ obtenemos $$\frac{1}{x'} - \frac{1}{y'} = \frac{1}{z'}$$ donde $(x', y', z') = 1$ .

Sea $e = (x', y')$ y $x' = ex''$ y $y = ey''$ . Sabemos por la ecuación anterior que $z'(y' - x') = x'y'$ o lo que es lo mismo, $z'(ey'' - ex'') = e^2x''y''$ dividiendo por $e$ tenemos $z'(y'' - x'') = ex''y''$ . $e$ divide el lado derecho, por lo que debe dividir el lado izquierdo. Si $(e, z') > 1$ entonces $(x', y', z') > 1$ lo cual es una contradicción.

Así $e \mid y'' - x''$ . Esto implica $y'' - x'' = \frac{y' - x'}{e} = ek$ para algunos $k$ Así que $y' - x' = e^2k$ .

Ahora, queremos $z' = \frac{x'y'}{y' - x'} = \frac{e^2x''y''}{e^2k} = \frac{x''y''}{k}$ Así que $k \mid x''y''$ . $(x'', y'') = 1 \implies k \mid x'' \text{ or } k \mid y''$ sino de $y'' - x'' = ek$ obtenemos que $k$ divide ambos $x''$ y $y''$ si divide a uno. Así que $k = 1$ .

Tenemos $y' - x' = e^2$ . Multiplicando ambos lados por $d^2$ finalmente tenemos $d(y - x) = e^2d^2 = (ed)^2$ . Entonces, como en la respuesta anterior, $dxyz = dz(y - x)z = (ed)^2z^2 = (edz)^2$ también es un cuadrado.