Si $R$ es un dominio euclidiano conmutativo, entonces el anillo $R((x))$ de la serie formal de Laurent será también un dominio euclidiano. (Aquí podemos suponer que $R((x))$ es un dominio integral conmutativo).
Información adicional, tengo:
Dejemos que $F$ sea un campo y defina el anillo $F((x))$ de series formales de Laurent con coeficientes en $F$ como el conjunto de todas las series formales de la forma $\sum_{n \geq N} a_nx^n$ donde $a_n \in F$ y $N \in \mathbb{Z}.$ Entonces $F((x))$ es un campo.
Podemos pensar en los elementos de $F((x))$ como funciones $\alpha : \mathbb{Z} \rightarrow F$ con la propiedad de que existe un elemento mínimo $k \in \mathbb{Z}$ tal que $\alpha(k) \neq 0$ junto con la función cero. Teniendo en cuenta esta interpretación, la notación $ \alpha = \sum_{n \geq N} a_n x^n $ significa que $ a_n = 0 $ para todos $n < N$ ; nótese que N no es necesariamente maximal con esta propiedad. Es decir, si $a_n = 0$ para todos $N \leq n < M$ entonces también decimos $\alpha = \sum_{n \geq M} a_n x^n$ . Teniendo esto en cuenta, definimos la suma y la multiplicación en $F((x))$ como sigue
$$\left( \displaystyle\sum_{n \geq N} a_n x^n \right) + \left( \displaystyle\sum_{n \geq M} b_n x^n \right) = \displaystyle\sum_{n \geq \min(N,M)} (a_n+b_n)x^n$$
$$\left( \displaystyle\sum_{n \geq N} a_n x^n \right) \cdot \left( \displaystyle\sum_{n \geq M} b_n x^n \right) = \displaystyle\sum_{n \geq N+M} \left( \displaystyle\sum_{i+j=n} a_ib_j \right) x^n$$
Para la definición de la multiplicación, observe que para n un número entero sólo hay un número finito de pares $(i,j)$ tal que $i+j = 0, i \geq N$ y $j \geq M.$
Entonces podemos comprobar todas las propiedades.
