Racionalizado límite del denominador, aún indefinido (división por cero), ¿cómo resolver?

Question

Estoy tratando de resolver:

$$\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{3x-2}}{\sqrt{4x+1} - \sqrt{5x-1}}$$

Mi primer paso es multiplicar por el conjugado para racionalizar el denominador.

$$\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{3x-2}}{\sqrt{4x+1} - \sqrt{5x-1}} \cdot \frac{\sqrt{4x+1} + \sqrt{5x-1}}{\sqrt{4x+1} + \sqrt{5x-1}}$$

Lo que da

$$\lim_{x \to 2}\frac {(\sqrt{x+2} - \sqrt{3x-2}) \cdot (\sqrt{4x+1} + \sqrt{5x-1})} {({4x+1}) - ({5x-1})} $$

Simplificar el denominador

$$\lim_{x \to 2}\frac {(\sqrt{x+2} - \sqrt{3x-2}) \cdot (\sqrt{4x+1} + \sqrt{5x-1})} {2-x} $$

Sustituyendo $2$ $x$ en el denominador y es el cero

$$\lim_{x \to 2}\frac {(\sqrt{x+2} - \sqrt{3x-2}) \cdot (\sqrt{4x+1} + \sqrt{5x-1})} {2-2} $$

Hice un error de cálculo, si es así, donde, y / o ¿puedo usar el enfoque equivocado, si es así, ¿qué es un enfoque de trabajo?

Answer 1

Ya tenemos $$\begin{align}\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}&=\frac{(\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2})(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}}\\&=\frac{-2(x-2)}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}}\end{align}$$ $$\begin{align}\sqrt{4x+1}-\sqrt{5x-1}&=\frac{(\sqrt{4x+1}-\sqrt{5x-1})(\sqrt{4x+1}+\sqrt{5x-1})}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{5x-1}}\\&=\frac{-(x-2)}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{5x-1}}\end{align}$$

Tenemos $$\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x+2}}{\sqrt{4x+1}-\sqrt{5x-1}}=\left(\frac{-2(x-2)}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}}\right)\div\left(\frac{-(x-2)}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{5x-1}}\right)$$$$=\left(\frac{-2\color{red}{(x-2)}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}}\right)\times\left(\frac{\sqrt{4x+1}+\sqrt{5x-1}}{-\color{red}{(x-2)}}\right)=2\cdot\frac{\sqrt{4x+1}+\sqrt{5x-1}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}}$$$$\to 2\cdot \frac{\sqrt 9+\sqrt 9}{\sqrt 4+\sqrt 4}=3\ (x\to 2).$$