Demostrar que$f(n) = 16n^3+12n^2+3n+1$ es un cuadrado perfecto si y sólo si $n = 0$

Question

Probar que el polinomio $f(n) = 16n^3+12n^2+3n+1$ $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ es un cuadrado perfecto si y sólo si $n = 0$.

Pensé acerca de factorizar este polinomio, pero que no ve una manera fácil de hacerlo. También pensé en usar un aritmética modular argumento, pero no estaba seguro de que el módulo de elegir. ¿Qué otra cosa podemos hacer?

Answer 1

Supongamos que $f(n)$ es un cuadrado perfecto. Tenga en cuenta que $4f(n)$ también tiene que ser un cuadrado perfecto. Tenga en cuenta que : $$ 4f(n) = 64n^3 + 48n^2 + 12n+4 = (4n+1)^3 + 3 $$

Por lo tanto, esencialmente estamos resolviendo el problema de $y^2 = (4n+1)^3 + 3$. Esto es similar a una curva de Mordell, pero ya no sé exactamente los detalles, sólo estoy diciendo que la secuencia de $A081119$ de la OEIS (enciclopedia en Línea de secuencias de enteros) tiene el número de soluciones a $y^2 = x^3+N$ da explícitamente.

Para $N=3$, la secuencia se dice que el número de soluciones es $2$. Podemos comprobar que estas soluciones corresponden a $y = 2, x=1$$y=-2,x=1$.

Ahora bien, es claro que a partir de $x=1$, $4n+1=1$ por lo $n=0$ es la única solución, dando un cuadrado perfecto.

Una vez más, yo no sé nada acerca de Mordell curvas, pero el hecho de que las soluciones de $y^2 = x^3 \pm n$ seguramente iba a ser conocido por lo menos, los pequeños valores de $n$ me llamó la atención. Yo todavía no entiendo por qué las soluciones son finitos para esta ecuación, a pesar de que (incluso para grandes valores de $n$.)