Coeficientes de una serie de potencias formal que satisface $\exp(f(z)) = 1 + f(q\,z)/q$

Question

Dejemos que $(q;\,q)_n$ denotan el $q$ -Símbolo del martillo neumático : $$(q;\,q)_n = \prod_{k=1}^n (1 - q^k), \quad(q;\,q)_0 = 1.\tag1$$ Consideremos una serie de potencias formal en $z$ : $$f(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}P_n(q)}{n!\,(q;\,q)_{n-1}}z^n,\tag2$$ donde $P_n(q)$ son algunos polinomios (aún desconocidos) en $q$ : $$P_n(q) = \sum_{k=0}^{m} c_{n,k} \, q^k,\tag3$$ donde $m=\binom{n-1}2 = \frac{(n-1)(n-2)}2$ y $c_{n,k}$ son algunos coeficientes enteros.

Supongamos que la serie formal de potencias $f(z)$ satisface la ecuación funcional $$\exp(f(z)) = 1 + f(q\,z)/q.\tag4$$ Expandiendo el lado izquierdo de $(4)$ en los poderes de $z$ utilizando el polinomios parciales exponenciales de Bell y comparando los coeficientes en las correspondientes potencias de $z$ a ambos lados, podemos obtener un sistema de ecuaciones, resolviendo el cual podemos encontrar los coeficientes de los polinomios $P_n(q)$ : $$ \begin{align} P_1(q) &= 1\\ P_2(q) &= 1\\ P_3(q) &= 2 + q\\ P_4(q) &= 6 + 6 q + 5 q^2 + q^3\\ P_5(q) &= 24 + 36 q + 46 q^2 + 40 q^3 + 24 q^4 + 9 q^5 + q^6\\ \dots \end{align}\tag5 $$ Este es un proceso bastante lento, incluso cuando se hace en un ordenador. He calculado los polinomios hasta $n=27$ (se pueden encontrar aquí ) utilizando un Mathematica programa que se puede encontrar aquí .

Hay algunos patrones en los coeficientes que calculé (hasta ahora son sólo conjeturas): $$ \begin{align} c_{n,0} &= (n-1)!&\vphantom{\Huge|}\\ c_{n,1} &= \frac{(n-2)(n-1)!}2, &n\ge2\\ c_{n,2} &= \frac{(3n+8)(n-3)(n-1)!}{24}, &n\ge3\\ c_{n,3} &= \frac{(n^2 + 5 n - 34)\,n!}{48}, & n\ge4 \end{align} \tag6 $$ y $$ \begin{align} c_{n,m} &= 1&\vphantom{\Huge|}\\ c_{n,m-1} &= \frac{(n+1)(n-2)}2, &n\ge2\\ c_{n,m-2} &= \frac{(3 n^3 - 5 n^2 + 6 n + 8)(n-3)}{24}, &n\ge3\\ c_{n,m-3} &= \frac{(n^4 - 10 n^3 + 43 n^2 - 74 n + 16) (n - 1) \, n}{48}, &n\ge4 \end{align} \tag7 $$ donde $m=\binom{n-1}2$ . Otros coeficientes parecen seguir patrones más complicados. También podemos observar que $$ \begin{align} P_n(1) &= \frac{(n-1)!\,n!}{2^{n-1}}\\ P_{2n}(-1) &= \frac{(2n-1)!\,n!}{3^{n-1}}\\ P_{2n-1}(-1) &= \frac{(2n-1)!!\,(2n-2)!}{6^{n-1}}, \end{align}\tag8 $$ donde $n!!$ denota el doble factorial .

Estoy tratando de encontrar una fórmula más directa para los polinomios $P_n(q)$ o sus coeficientes $c_{n,k}$ (posiblemente, conteniendo productos y sumas finitas, pero sin necesidad de resolver ecuaciones).

Answer 1

El uso de la primera recurrencia de la relación aquí, podemos encontrar una recurrencia de los polinomios $P_n(q)$: $$P_1(q) = 1, \quad P_n(q) = \sum_{k=1}^{n-1} {{n-1} \choose {k-1}} {{n-2} \brack {k-1}}_q P_k(q) \, P_{n-k}(q) \, q^{n-k-1},$$ donde $n \choose k$ es el coeficiente binomial, y ${n \brack k}_q$ es el $q$-coeficiente binomial (también conocido como el de Gauss coeficiente binomial). Un Mathematica programa que calcula utilizando este recurrencia puede ser encontrado aquí.

Si se introduce una notación para los coeficientes de el poder formal de la serie de $f(z)$, que son funciones racionales de $q$: $$f(z) = \sum_{n=1}^\infty Q_n(q)\,z^n, \quad Q_n(q) = \frac{(-1)^{n+1}P_n(q)}{n!\,(q;\,q)_{n-1}},$$ entonces podemos tener una simplificación de la recurrencia de ellos: $$Q_1(q) = 1, \quad Q_n(q) = \frac1{n \, (1-q^{1-n})}\sum_{k=1}^{n-1} k \, q^{-k} \, Q_k(q) \, Q_{n-k}(q).$$ Sería bueno encontrar una manera más directa, de carácter no recurrente fórmula para ellos.