Ejemplo de un asociativa de productos cruzados, alguna importancia?

Question

Mientras intentan encontrar casos en los que mostró que el producto cruz no es asociativa, he encontrado algunos de los que fueron. Estoy tratando de mostrar que

$(\mathbf{A}\times \mathbf{B}) \times \mathbf{C} \ne \mathbf{A}\times (\mathbf{B} \times \mathbf{C})$

Y si

$\mathbf{A} = \hat{x}$

$\mathbf{B} = \hat{y}$

$\mathbf{C} = \hat{x}$

Me parece el de la desigualdad en realidad es igual, a ambos lados de la igualdad de a $\hat{y}$. Para un ejemplo en donde la desigualdad es cierto, he usado

$\mathbf{A} = \hat{x}+\hat{y}+\hat{z}$.

Para corroborar mi trabajo, he probado también los casos en python:

import numpy as np
# TRUE:
a = np.array((1,0,0))  
# FALSE:
#a = np.array((1,1,1))  
b = np.array((0,1,0))
c = np.array((1,0,0))

ab_c = np.cross(np.cross(a,b),c)
a_bc = np.cross(a,np.cross(b,c))
print "(a x b) x c =? a x (b x c)"
print ab_c,"=?",a_bc
print np.all(ab_c == a_bc)

1. Son mis cálculos correctos?
2. ¿Hay algún significado a esto?
3. Cómo se relaciona esto con una Mentira álgebra? ¿No es así? Una respuesta a otra pregunta, ¿qué es Lo contrario de una cruz de un producto?, se refiere a una Mentira Soporte.

EDITAR Después de pensar acerca de Mariano respuesta, me di cuenta de que me he engañado a mí mismo y no hay ninguna trascendencia en el resultado anterior. La desigualdad es falsa cuando $\mathbf{A} = \mathbf{C}$, lo que en realidad es mi primer caso.

$(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{A} = [-(\mathbf{B} \times \mathbf{A})] \times \mathbf{A} = -\mathbf{A} \times [-(\mathbf{B} \times \mathbf{A})] = \mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{A})$

Así que mi ejemplo es la prueba de un caso que no es válido para la desigualdad de $(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{C} \ne \mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C})$, lo que supone que los tres vectores son únicos.

En lo que respecta a Mariano válidos de respuesta, el hecho de que $(c\times a) \times b = 0 $ que es verdad en mi caso, porque $ c = a $.

Answer 1

Un longuish comentario

La cruz de producto satisface la identidad de Jacobi $$(a\times b)\times c+(b\times c)\times a+(c\times a)\times b=0.$$ Using this and the fact that it is antisymmetric, you can easily see that $$(a\times b)\times c=a\times(b\times c)\iff(c\times a)\times b=0.$$

Inmediatamente, esto explica su ejemplo en el que la igualdad tiene y el que no.

Answer 2

Después de pensar acerca de Mariano respuesta, me di cuenta de que me he engañado a mí mismo y no hay ninguna trascendencia en el resultado anterior. La desigualdad es falsa cuando $\mathbf{A} = \mathbf{C}$, lo que en realidad es mi primer caso.

$(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{A} = [-(\mathbf{B} \times \mathbf{A})] \times \mathbf{A} = -\mathbf{A} \times [-(\mathbf{B} \times \mathbf{A})] = \mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{A})$

Así que mi ejemplo es la prueba de un caso que no es válido para la desigualdad de $(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{C} \ne \mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C})$, lo que supone que los tres vectores son únicos.

En lo que respecta a Mariano válidos de respuesta, el hecho de que $(c\times a) \times b = 0 $ que es verdad en mi caso, porque $ c = a $.