Cómo calcular $z^4 + \frac1{z^4}$ si $z^2 + z + 1 = 0$ ?

Question

Dado que $z^2 + z + 1 = 0$ donde $z$ es un número complejo, ¿cómo procedo para calcular $z^4 + \dfrac1{z^4}$ ?

Calcular las raíces complejas y luego el resultado podría ser una respuesta, supongo, pero no es muy elegante. ¿Qué alternativas hay?

Answer 1

En $z^2 + z + 1 = 0$ tenemos $$z +\frac{1}{z}=-1.$$ Elevando al cuadrado, obtenemos $$z^2 +\frac{1}{z^2}+2=1,$$ lo que implica que $$z^2 +\frac{1}{z^2}=-1.$$ Creo que sabrás qué hacer a continuación.

Answer 2

Esencialmente, el mismo cálculo se deduce también de la observación de que $x^2+x+1=\phi_3(x)$ es el tercer polinomio ciclotómico. Así que $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)=0$ y, por tanto $z^3=1$ para cualquier solución $z$ . Por lo tanto $$ z^4+\frac{1}{z^4}=z\cdot z^3+\frac{(z^3)^2}{z^4}=z+z^2=-1. $$

Answer 3

$$\begin{align*} z^4+\frac1{z^4}&=(-z-1)^2+\frac1{(-z-1)^2}\\ &=z^2+2z+1+\frac1{z^2+2z+1}\\ &=(-z-1)+2z+1+\frac1{(-z-1)+2z+1}\\ &=z+\frac1{z}=\frac{z^2+1}{z}=\frac{-z-1+1}{z}=-1 \end{align*}$$

Answer 4

He aquí un enfoque alternativo: consideremos $z^{8}+1$ y dividir por $z^{4}$ .

Utilizando series geométricas, observe que $$z^{8}+z^{7}+z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1=\left(z^{2}+z+1\right)\left(z^{6}+z^{3}+1\right)=0.$$ Ahora, como $z^{2}+z+1=0$ sabemos que ambos $z^{7}+z^{6}+z^{5}=0$ y $z^{3}+z^{2}+z=0$ y, por tanto $$z^{8}+z^{4}+1=0$$ para que $z^{8}+1=-z^{4}$ . Por lo tanto, concluimos que $$z^{4}+\frac{1}{z^{4}}=-1.$$

Answer 5

Sugerencia $ $ explotar la innata simetría: para $\rm\ y = z^{-1} $ sabemos $\rm\ yz\ (=\: 1)\:$ & $\rm\ y+z\ (=\: z^{-1}\!+z\: =\: -1)\ $

Así sabemos $\rm\ \ \ y^2 + z^2\ =\ (y\ +\ z)^2-\ 2\:(y\:z)$

por lo tanto sabemos $\rm\ y^4 + z^4\ =\ (y^2\! + z^2)^2 - 2\:(y\:z)^2$

Para más información sobre los polinomios simétricos, véase el artículo de Wikipedia sobre Las identidades de Newton.