Definir $A^{-1}$ (en algunos casos) incluso si $A$ no es una matriz invertible

Question

$\def\r{\Bbb R}$ $\def\q{\Bbb Q}$ Como el título sugiere, estoy tratando de hacer algo que sé que no se puede hacer, así que mi pregunta es confusa, y estoy tratando de hacer sentido de ella. En general: (1) ¿Cómo puede uno hacer sentido de lo que se describe a continuación, y (2) hay resultados conocidos y conocidos de la terminología aplicable, relacionado con mis comentarios? (Estoy tentado a pensar de algunas generalizaciones de los anillos, monoids, pero no puedo hacer sentido de ella sin necesidad de utilizar una unidad).

Así que, yo estaba leyendo acerca de irreductible matrices (y de las relaciones fuertemente conectado gráficos, en línea), después de comenzar con el libro de los Sistemas Dinámicos y Ergodic Theory por Pollicott y Yuri. Como un ejemplo de una matriz irreducible dan $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Desde las dos primeras filas coinciden, claramente $\det(A)=0$ $A$ no es invertible.

No obstante, uno puede mirar los poderes $A^n$$A$, así como en $A^n-A^{n-1}$. Sin duda esto es posible por $n\ge2$, y la de mi equipo (con equipo de álgebra Reducir) felizmente evalúa el caso de $n=1$, $A^1-A^{1-1}=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ (obviamente usando $A^{1-1}=I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$), pero el caso $n=0$, que es $A^0-A^{-1}$ genera un mensaje de error `Singulares de la matriz" (por supuesto, como $A^{-1}$ no existe).

Pero, resulta que $A^{n+1}-A^n= A^{n-1}$$n\ge2$. Por ejemplo,

$n=2$ ,$A^3=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, e $A^3-A^2=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}= A^1$.

$n=3$ ,$A^4=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$, e $A^4-A^3=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}= A^2$.

$n=4$ ,$A^5=\begin{pmatrix} 3 & 5 & 5 \\ 3 & 5 & 5 \\ 2 & 3 & 3 \end{pmatrix}$, e $A^5-A^4=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}= A^3$.

$n=5$ ,$A^6=\begin{pmatrix} 5 & 8 & 8 \\ 5 & 8 & 8 \\ 3 & 5 & 5 \end{pmatrix}$, e $A^6-A^5=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}= A^4$.

(Como se ve los números de Fibonacci están involucrados también.)

A partir de lo señalado anteriormente, si la tentación (de forma recursiva) definir $A^{n-1}=A^{n+1}-A^n$ todos los $n\le1$. Por ejemplo,

$A^0=A^2-A^1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \not= I$. Aunque $A^0$, definido de esta manera, es diferente de $I$, actúa como $I$ cuando se multiplica a $A^n$, $n\ge1$. Por ejemplo, $A^0\cdot A=A\cdot A^0=A$, $A^0\cdot A^7=A^7\cdot A^0=A^7$, etc. También, $(A^0)^2=A^0$, e $(A^0)^n=A^0$$n\ge1$.

Del mismo modo, uno puede definir $A^{-1}=A^1-A^0 = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$. (Y, uno puede definir $A^{-n}$ todos los $n\ge1$.) Aunque $A$ a no es invertible, el $A^{-1}$ como se definió anteriormente se comporta como una función inversa de a $A$, es decir, $A^{-1}\cdot a=a\cdot A^{-1}=A^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Por lo tanto, mi (confundido) pregunta (además de (1) y (2) al principio) es: (3) ¿Qué estoy observando (suponiendo que ya se ha observado, y es bien conocido)?

Edit. Creo que entiendo mejor lo que estaba haciendo (o lo que había confundido a mí) y post mis comentarios aquí. Esto es esencialmente una respuesta, pero voy a dejar la opción abierta para que alguien más los post de su respuesta, como apropiado, ya que la pregunta era un poco abierta, y puede obtener diferentes tipos de respuestas. (También, después de escribir esta edición, creo que hay más detalles para ser verificada.)

QiaochuYuan dejado un comentario que yo al principio no entendía, pero ahora creo que él quiso decir algo a lo largo de lo que se ilustra con el siguiente ejemplo. Deje $F=\{\begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}: x\in\r\}$. A continuación, $F$ es un campo isomorfo a $\r$, con identidad aditiva $O=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ y la identidad multiplicativa $U=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, y si $X=\begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\not=O$$X^{-1}=\begin{pmatrix} x^{-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. El último no contradice el hecho de que $\begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, como una matriz no es invertible. Si $Id=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ es la matriz identidad, esto parece una contradicción, el hecho de tener dos diferentes multiplicativo de las identidades, es decir,$U$$Id$, pero no hay ninguna contradicción simplemente como $Id$ no pertenece a $F$.

No parece que QiaochuYuan se dirigió a la identidad de $A^{n+1}-A^n= A^{n-1}$ $n\ge2$ (y esto último parecía especial para mí). Deje $E= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ (que yo había denotado por $A^0$ por encima, pero yo prefiero $E$ ahora). $E$ es la identidad multiplicativa de la estructura descrita en mi pregunta, y yo estaba perplejo como se veía como existen dos formas de multiplicación de las identidades, es decir,$E$, e $I= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Me parecía que si usamos el usual de la multiplicación de la matriz, a continuación, sólo había una opción para la identidad multiplicativa, es decir,$I$. La matriz $E$ ni siquiera es una matriz diagonal, y que parecía extraño sería una identidad multiplicativa (y me debe haber olvidado que las matrices tienen formas normales). Bueno, he verificado los detalles más tarde, y $E$ es de hecho la identidad multiplicativa, mientras que $I$ simplemente no pertenecen a esta estructura.

Llame a la estructura insinuado en mi pregunta $K$. Por lo $K$ contiene $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ así como todos $A^n$, $n\ge1$ (usual de la multiplicación de la matriz). Tenemos que $A^{n-1}=A^{n+1}-A^n$ todos los $n\ge2$, y esto sugiere que el $E=A^2-A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ desempeñaría el papel de la identidad multiplicativa. Una vez hecho esto, podemos definir la inversa de a $A$ $A-E$ (donde $E$ desempeña el papel de $A^0$). Yo había usado la notación $A^{-1}$ en mi pregunta, pero me confunden con eso creo que en este contexto debe ser reservado para la matriz inversa (que para $A$ no existe). Por lo tanto, si $n\ge1$, voy a denotar el inverso multiplicativo de a $A^n$ ( $K$ )$A^{[-n]}$. En particular, $A^{[-1]}=A-E=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$,$A^{[-2]}=E-A^{[-1]}=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \\ -3 & 2 & 2 \end{pmatrix}$, próxima $A^{[-3]}=A^{[-1]}-A^{[-2]}$, etc. (el uso de la identidad de $A^{n-1}=A^{n+1}-A^n$ como modelo).

Deje $S=\{A^{[-n]}:n\ge1\}\cup\{E\}\cup\{A^n:n\ge1\}$. A continuación, $S$ es un anillo conmutativo bajo usual de la multiplicación de la matriz, con elemento de identidad $E$. Pues por supuesto que se podía sumar y restar los elementos de $S$ (matrices), estaba confundido que $S$ es un campo, y yo sabía que eso no podía ser, ya que el grupo multiplicativo debe contener una copia de los racionales $\q$, mientras que el $S$ parece isomorfo como un grupo de a $(\Bbb Z,+)$. (Pero se estaba haciendo tarde.)

Simplemente había olvidado que $S$ no es cerrado bajo la suma (y resta). Por lo $S$, no es un campo, sino que genera un campo. Deje $K$ a ser el campo que se genera por $S$. Voy a presentar un par de más descripciones específicas de $K$ por debajo.

En primer lugar, cada elemento de a $S$ es de la forma$\begin{pmatrix} q & r & r \\ q & r & r \\ p & q & q \end{pmatrix}$, $p+q=r$ (de modo que, obviamente, dicho elemento está totalmente determinado por $p$$q$). Cada elemento de a $K$ es de esta forma también, donde los $p,q,r\in\q$$p+q=r$. Las operaciones habituales de la matriz de la adición y la multiplicación, con la habitual matriz cero, pero con $E$ para la identidad multiplicativa.

Supongamos que existe un campo de isomorfismo $h:K\to L \subset \r$. (Hay, de hecho, se describe a continuación.) Deje $a=h(A)$, $1+a=a^2$ desde $E+A=A^2$. Las soluciones para $a$ son de la sección áurea $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}2\approx1.618$$\psi=\frac{1-\sqrt{5}}2\approx-0.618$. Por lo tanto, $K$ es isomorfo a la extensión de campo $\q(\sqrt{5})$ (hmm, no me verificar si la multiplicación de la matriz va a la usual de la multiplicación en la $\r$, así que puedo estar equivocado, pero va a seguir escribiendo).

Deje $(p,q)$ abreviar la matriz $\begin{pmatrix} q & r & r \\ q & r & r \\ p & q & q \end{pmatrix}$ donde $p+q=r$. Entonces $h(E)=h(-1,1)=1$, $h(A)=h(1,0)=a$, y $h(A^2)=h(0,1)=a^2$. Por lo tanto $h(p,q)=pa+qa^2$. Tenga en cuenta también que $\pm\sqrt{5}=3a-a^2$. Hay dos posibilidades para $h$. (1), $a=\varphi$ y, a continuación,$h(p,q)=\frac{p+3q}2+\frac{p+q}2\sqrt{5}$, o (2), $a=\psi$ y, a continuación,$h(p,q)=\frac{p+3q}2-\frac{p+q}2\sqrt{5}$. Siento que no me verificar todos los detalles, pero es llegar tarde de nuevo. Si lo que escribí en esta edición es incorrecta, entonces la pregunta es como explicar lo que el ejemplo anterior es o hace.

Answer 1

Probablemente hay muchos diferentes direcciones a tomar esto. Esto es lo que yo he venido para arriba con. Si ponemos $A^{(n)} = A^n$$n \ge 1$, se ha observado que tenemos la recurrencia $$A^{(n+2)} = A^{(n+1)} + A^{(n)}\tag{F}.$$ You then used this recurrence to extend the definition of $A^{(n)}$ to all integers $n$. We know that the relation $^{(n+m)} = A^{(n)}^{(m)}$ holds for $n,m \ge 1$. We can make an inductive argument that this relation holds when $n$ and $m$ are any integers as follows. First, assume that $m \ge 1$. Then, if $n$ is any integer, and we assume the result holds for all larger values of $$ n, obtenemos $$A^{(n)}A^{(m)} = (A^{(n+2)} - A^{(n+1)})A^{(m)} = A^{(n+m+2)} - A^{(n+m+1)} = A^{(n+m)}.$$ Luego nos vamos a $n$ arbitrarias, y las introducirá en la misma forma en los $m$ para completar el argumento. Este resultado se muestra en particular que $A^{(0)}$ actúa como un elemento de identidad en virtud de la multiplicación de la matriz para el conjunto $\{ A^{(n)} \}$ (como fue sugerido por DavidP en los comentarios). De hecho, este conjunto es un grupo cíclico, y la inversa de a$A^{(n)}$$A^{(-n)}$.

Hay una más general resultado al acecho detrás de todo esto. En lugar de las dos de la variable de relación $A^{(n+m)} = A^{(n)}A^{(m)}$, en lugar de considerar las recurrencias $$A^{(n+1)} = A \cdot A^{(n)} = A^{(n)} \cdot A.\tag{P}$$ Together with $a = a^{(1)}$, these imply the two variable relation. We can rephrase our results by saying that we extended the definition of $A^{(n)}$ using relation $(\mathrm{F})$, and then discovered that $(\mathrm{P})$ held as well, with the consequence that $Un^{(-1)}$ acts as the inverse of $A^{(1)}$. Más en general, el resultado es:

Deje $R$ ser (no necesariamente conmutativo) del anillo. Supongamos que la secuencia de $x_0, x_1,x_2,\ldots \in R$ satisface, por $n \ge 0$, el de las relaciones $$\sum_{i=0}^r c_i x_{n+i} = 0\tag{1}$$ and $$\sum_{j=0}^s d_j x_{n+j} = 0\tag{2}$$ para algunos elementos de la $c_0,\dots,c_r,d_0,\dots,d_s$$R$. Supongamos por $0 \le i \le r$ $0 \le j \le s$ que $c_i$ $d_j$ viaje. Si $c_0$ es invertible, no hay una única extensión de $\{x_n\}$ a todos los números enteros que satisfacen $(1)$, y esta extensión también satisface $(2)$.

Prueba:

La relación $(1)$ es equivalente a $x_n = -c_0^{-1}\sum_{i=1}^r c_i x_{n+i}$, lo que implica la existencia y unicidad de la extensión. Sabemos que $(2)$ mantiene para $n \ge 0$. Ahora vamos a $n$ ser un número entero y supongamos inductivamente que $(2)$ tiene para todos los mayores valores de $n$. A continuación, $$\begin{align*} d_0 x_n & = -d_0 c_0^{-1}\sum_{i=1}^r c_i x_{n+i} = c_0^{-1}\sum_{i=1}^r c_i (-d_0 x_{n+i}) = c_0^{-1}\sum_{i=1}^r c_i \sum_{j=1}^s d_j x_{n+i+j} \\ & = c_0^{-1}\sum_{j=1}^s d_j \sum_{i=1}^r c_i x_{n+i+j} = c_0^{-1}\sum_{j=1}^s d_j (-c_0x_{n+j}) = -\sum_{j=1}^s d_j x_{n+j}. \end{align*}$$ Por lo tanto, $(2)$ es verificada.