Intersección de la multiplicidad de los dos curvas.

Question

Quiero calcular la intersección de la multiplicidad de $YZ=X^2$ $YZ=(X+Z)^2$ $P=(0:1:0)$ En una afín nbd de $P$, vamos a $(X:Y:Z)=(x:1:z)$ $$I_P=\dim \mathcal{O}_{\mathbb{A}_k^2,(0,0)}/(x^2-z,x^2+2xz+z^2-z)$$

En mi anterior pregunta, he aprendido que si $(0,0)$ es el único cero, puedo cambiar el anillo local a $k[x,z]$. Pero el problema se produce, ya que hay puntos de intersección no sólo $(0,0)$, pero también se $(-2,4)$. Yo vi el de Fulton del libro(sección 2.9 de la proposición 6), que dice que $$k[x,z]/I \simeq \mathcal{O}_{(0,0)}/I\mathcal{O}_{(0,0)} \times \mathcal{O}_{(-2,4)}/I\mathcal{O}_{(-2,4)}$$ Así que ahora ¿cómo puedo calcular la intersección de la multiplicidad?

Answer 1

Que hay múltiples puntos de intersección no afecta realmente a su cálculo. Con el fin de calcular la intersección de la multiplicidad en $P,$ nos tienen que pasar para que el anillo local, que se olvida de otros puntos de intersección. Por lo tanto, se puede calcular el $$I_P=\dim_k k[x,z]_{(x,z)}/(z-x^2,z-(x+z)^2)_{(x,z)},$$

es decir, podemos localizar $k[x,z]$ en el primer $(x,z)$ y, a continuación, tomar el cociente. Por supuesto, la localización de los viajes con cocientes, por lo que tenemos

$$I_P=\dim_k (k[x,z]/(z-x^2,z-(x+z)^2))_{(x,z)}=\dim_k (k[x]/(x^2-(x+x^2)^2))_{(x)}=\dim_k (k[x]/(x^3(-2-x)))_{(x)}=\dim_k k[x]/(x^3)$$

desde $-2-x$ es una unidad en la localización de la $k[x]_{(x)}$. Esto muestra que la multiplicidad es $I_P=3.$