¿Cómo se encuentra el valor de $\sum_{r=0}^{44} \tan^2(2r+1)$ ?

Question

El problema:

Encuentre el valor de $$\sum_{r=0}^{44} \tan^2(2r+1)$$

Nota: Los ángulos aquí están en grados.

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No sé cómo resolver esta pregunta porque las simplificaciones trigonométricas no me han llevado a ninguna parte. Creo que había un método para resolver esta pregunta utilizando números complejos que ya no recuerdo. Cualquier pista/ayuda será apreciada.

Answer 1

Utilizando Suma de funciones tangentes cuyos argumentos están en series aritméticas específicas ,

$$\tan90x=\dfrac{\binom{90}1t-\binom{90}3t^3+\cdots+\binom{90}{89}t^{89}}{\binom{90}0-\binom{90}2t^2+\cdots+\binom{90}{90}t^{90}}$$ donde $t=\tan x$

Si $\tan 90x=\tan90^\circ=\infty$

$90x=180^\circ n+90^\circ=90^\circ(2n+1)$ donde $n$ es un número entero cualquiera

$\implies x=(2n+1)^\circ$ donde $n\equiv0,1,2,\cdots,88,89\pmod{90}$

Por lo tanto, las raíces de $$t^{90}-\binom{90}{88}t^{88}+\cdots=0$$

son $\tan(2n+1)^\circ$ donde $n\equiv0,1,2,\cdots,88,89\pmod{90}$

Ahora como $-\tan(2n+1)^\circ=\tan\{180^\circ-(2n+1)^\circ\}=\tan\{2(89-n)+1)^\circ\}$

$$\implies\sum_{r=0}^{89}\tan^2(2n+1)^\circ=2\sum_{r=0}^{44}\tan^2(2n+1)^\circ$$

y las raíces de $$s^{45}-\binom{90}{88}s^{44}+\cdots=0$$ son $\tan^2(2n+1)^\circ$ donde $n\equiv0,1,2,\cdots,88,89\pmod{90}$

Usando la fórmula de Vieta, $$\sum_{r=0}^{89}\tan^2(2n+1)^\circ=\binom{90}{88}=\binom{90}{90-88}=?$$

¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

Utilizando una idea similar a esta respuesta , tenga en cuenta que la función $$ \frac{90/z}{z^{90}-1} $$ tiene un residuo $1$ para $z=e^{k\pi i/45}$ y el residuo $-90$ en $z=0$ .

En $|z|=1$ , $$ \tan(\theta/2)=-i\frac{z-1}{z+1} $$ Integración de $$ f(z)=-\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^2\frac{90/z}{z^{90}-1} $$ alrededor de un gran círculo es $0$ ya que el integrando es aproximadamente $|z|^{-91}$ . Así, la suma de los residuos es $$ 2\sum_{k=0}^{44}\tan^2\left(\frac{2k\pi}{180}\right)+\operatorname*{Res}_{z=0}f(z)+\operatorname*{Res}_{z=-1}f(z)=0 $$ Desde $\operatorname*{Res}\limits_{z=0}f(z)=90$ y $\operatorname*{Res} \limits_{z=-1}f(z)=-\frac{8102}{3}$ obtenemos $$ \begin{align} \sum_{k=0}^{44}\tan^2\left(\frac{2k\pi}{180}\right) &=\frac12\left(\frac{8102}{3}-90\right)\\ &=\frac{3916}{3} \end{align} $$ La suma en la pregunta es la diferencia entre el valor en la respuesta citada anteriormente y este valor, es decir $$ \begin{align} \sum_{k=0}^{44}\tan^2\left(\frac{(2k+1)\pi}{180}\right) &=\frac{15931}{3}-\frac{3916}{3}\\ &=4005 \end{align} $$