Pregunta sobre conjuntos cerrados

Question

Dejemos que $A$ y $B$ sean subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ (donde $\mathbb{R}^n$ es el espacio euclidiano n). Definir $A + B = \{ x + y : x \in A , y \in B \}.$ Ahora bien, si $A$ y $B$ son conjuntos cerrados, es $A+B$ ¿también un conjunto cerrado?

Answer 1

No siempre. Considere en $\mathbb{R}$ : $$A = \mathbb{Z}, \quad B = \left\{ n + \frac{1}{n} : n \geqslant 2 \right\}$$ así que $\frac{1}{n} \in A + B$ pero $0 \not \in A+B$ .

Answer 2

Toma $n = 2$ , toma $A$ para ser el $y$ -eje y tomar $B$ para ser el cuadrante positivo de la hipérbola $y = \frac{1}x$ . Entonces $A$ y $B$ son ambos cerrados, pero $A + B$ es el conjunto de $(x, y)$ tal que $x > 0$ que no está cerrado.

Si $A$ y $B$ son ambos cerrados y uno de ellos es compacto, entonces $A + B$ está cerrado. Ver Suma cerrada de conjuntos para una prueba.

Answer 3

\begin{align} A + B &= \{ a + b \mid a \in A, b \in B\} \\ &= \bigcup_{b \in B} \{ a + b \mid a \in A\} \\ &= \bigcup_{b \in B} (A+b)\,. \end{align} Si uno de los conjuntos $A,B$ es finito, entonces $A+B$ está cerrado, porque $A+b$ es cerrado (creo que esto es válido en todos los espacios normados). Pero como las uniones infinitas de conjuntos cerrados no son cerradas en general, parece que debería haber muchos contraejemplos (dos ya publicados aquí).