Una terrible factorización pregunta.

Question

Si $a+b+c = 0$ muestran que $$(2a-b)^3 + (2b-c)^3 + (2c-a)^3 = 3 (2a-b)(2b-c)(2c-a)$$

He probado sustituyendo los valores pero se hace demasiado complicado. Puede alguien por favor ayuda con el método? He estado tratando durante 30 minutos. Gracias!

Answer 1

Vamos $x=2a-b$, $y=2b-c$, y $z=2c-a$. A continuación,$x+y+z=0$, lo $LHS=x^3+y^3+z^3=x^3+y^3+(-x-y)^3=3xy(-x-y)=3xyz=RHS$.

Answer 2

Sugerencia: $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$, e $(2a-b)+(2b-c)=2a+b-c = a-2c+(a+b+c)=-(2c-a)$

La utilización de estos para simplificar.

Answer 3

El uso de Newton identidades para el polinomio con raíces $A=2a-b$, $B=2b-c$, $C=2c-a$. Tenga en cuenta que $a+b+c = 0$ implica $A+B+C=0$. Así, Newton identidades decir que $A^3+B^3+C^3=p_3=e_1 p_2 + e_2 p_1 + 3e_3 = 3e_3 = 3ABC$.

Aquí, $p_k = A^k + B^k + C^k$, $e_1=p_1=A+B+C$, $e_2=AB+BC+CA$ (pero no es necesario), y $e_3=ABC$.