Pregunta con Respecto a la Imagen Estándar de $K_{0}(A)$ C$^{*}$-Álgebra $A$

Question

Estoy trabajando a través de Rordam del libro y estoy atascado en el ejercicio 4.4. Supongamos que tenemos una (no necesariamente unital) C$^{*}$-álgebra $A$. Se pide demostrar que todo elemento de a $K_{0}(A)$ puede ser escrito como $$ [p]_{0}-\left[\begin{pmatrix}1_{n} & 0_{n}\\ 0_{n} & 0_{n}\end{pmatrix}\right]_{0}, $$ para algunos proyección de $p\in M_{2n}(\widetilde{A})$ satisfactorio $$ p \begin{pmatrix}1_{n} & 0_{n}\\ 0_{n} & 0_{n}\end{pmatrix}\en M_{2n}(A). $$

Siguiendo una de las pruebas en el libro (una cuarta parte del camino hacia abajo de la página 64), tomé una arbitraria $g\in K_{0}(A)$ y expresado como $[e]_{0}-[f]_{0}$ para algunas proyecciones $e,f\in M_{n}(\widetilde{A})$. Entonces, me puse $$ p=\begin{pmatrix}1_{n}-f & 0\\ 0 & e\end{pmatrix}\qquad\text{y}\qquad q=\begin{pmatrix}1_{n} & 0_{n}\\ 0_{n} & 0_{n}\end{pmatrix}. $$ Como en la prueba en el libro, se deduce que el $g=[p]_{0}-[q]_{0}$ y que $$ [s(p)]_{0}=[q]_{0}, $$ donde $s\colon\widetilde{A}\to\widetilde{A}$ es el mapa dado por $s(a+\lambda\cdot1_{\widetilde{A}})=\lambda\cdot 1_{\widetilde{A}}$. Por lo tanto, tenemos $g=[p]_{0}-[s(p)]_{0}$, pero para garantizar que $p-\begin{pmatrix}1_{n} & 0_{n}\\ 0_{n} & 0_{n}\end{pmatrix}\in M_{2n}(A)$, tengo $s(p)=q$, lo que obviamente no posee en general.

He estado pensando durante horas cómo modificar esta construcción para producir el resultado, pero no he sido capaz de llegar con cualquier otra cosa. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Gracias.

Answer 1

Tomar algún elemento $x \in K_0(A)$ con $$ x = [p]_0 - [q]_0, $$ donde vamos a decir $p,q \in M_n(\widetilde A)$. Por $\pi : \widetilde A \to \mathbb C$ I denota el mapa de la cual se envía a$a+\lambda 1_{\widetilde A}$$\lambda$.

Por definición de $K_0$ sabemos que $\pi(p)$ $\pi(q)$ definir el mismo elemento en $V(M_n(\mathbb C)) = \mathbb N$, es decir, estas proyecciones tienen el mismo rango $k \leq n$. Así que ambos de ellos son unitarily equivalente a $1_k$ Que significa, existen unitaries $u_1,u_2 \in M_n(\mathbb C)$ con $$ u_1 \pi(p)u_1^* = 1_k, \quad u_2 \pi(q)u_2 = 1_k. $$ La sustitución de $p$ $u_1pu_1^*$ $q$ $u_2qu_2^*$ vemos que podemos suponer que la $p-q \in M_n(A)$ siempre $[p]_0-[q]_0 \in K_0(A)$.

Ahora bien, dado $[p]_0-[q]_0 \in K_0(A)$$p-q \in M_n(A)$, hacemos lo siguiente (como en Wegge-olsen's book):

Desde $q \in M_n(\widetilde A)$ es una proyección, sabemos $q \leq 1_n$. Deje $p' \in M_{2n}(\widetilde A)$ ser la proyección de $0_n \oplus p$. Entonces $$ [p]_0 = [p']_0 \quad \text{y} \quad \ p' \bot 1_n-q. $$ Con $p'' := (1_n-q) + p' \in M_{2n}(\widetilde A)$, obtenemos

\begin{align*} [p'']_0 - [1_n]_0 & = [1_n-q]_0+[p']_0-[1_n]_0 \\ & = [1_n-q]_0+[q]_0-[q]_0+[p']_0-[1_n]_0 \\ & = [1_n]_0 - [1_n]_0 + [p']_0-[q]_0 \\ & = [p]_0-[q]_0. \end{align*} Ahora, podemos volver a reemplazar a $p''$ $upu^*$ para algunos adecuado unitario $u \in M_{2n}(\mathbb C)$ tal que $\pi(p'') = 1_n$.