axiomática de la definición de las funciones trigonométricas

Question

Un amigo me dijo que además de los axiomas de los números reales, se puede demostrar (sin apelar a seno y coseno) que existe una función que cumplen las siguientes condiciones:

1. $C(a-b)=C(a)C(b)+S(a)S(b)$
2. $ S(x) \geq 0 ,\forall x \in [0,p]$
3. $ S(p)=1$

Esto permitiría una definición alternativa de seno, coseno y aun $\pi$, sin el uso de la geometría, cálculo o no primarias argumentos. Ver Timothy Gowers blogpost para una discusión de lo difícil que puede ser para definir sinusoidal.

Ahora, usando las condiciones como 'axiomas', me las arreglé para mostrar que:

• $C(x)$ $S(x)$ fueron periódica con período de $4p$
• $C^2(x)+S^2(x)=1$
• $C(x+p)=-S(x)$
• $S(x+p)=C(x)$

Y, me pareció que si yo definidas $ \alpha_n= S(\frac{p}{2^n})$$\epsilon := \frac{p}{2^n}$, entonces yo podría mostrar que $ S(x)$ podría ser definida como una función para countably infinitos puntos $B = \{k \in \mathbb{Z},n \in \mathbb{N}:n\epsilon+kp\} \subset \mathbb{R}$, y al mismo tiempo mostrar que $\alpha_n$ era estrictamente decreciente.

Sin embargo, después de este punto me quedé atrapado. No he podido demostrar la existencia y unicidad de $ S(x), \forall x \in \mathbb{R}_+\setminus B$. Se puede hacer esto sin el uso de la geometría?

Nota: El hecho de que $S$ es una función es algo que debe ser demostrado. Escrito $S(x)$ asume functionness. Así que realmente debe tener cuidado de que no nos dan circular argumentos.

Answer 1

Primero me muestran que la $S$ $C$ son continuas. Se puede mostrar fácilmente que la siguiente:se

• $C(x) = S(p-x)$,
• $S(x\pm y) = S(x)C(y) \pm C(x)S(y)$,
• $S(-x) = -S(x)$,
• $C(x) \ge 0$ si $x \in [-p,p]$,
• $S(p/2) = C(p/2) = 2^{-1/2}$.

De ello se desprende que, al$x \in [-p,p]$$y \in [0,p]$, $$S(x+y)-S(x-y) = 2C(x)S(y) \ge 0,$$ de modo que $S$ es el aumento en $[-p,p]$. También, si $x \in [0,p]$, luego $$S(x) = 2S(x/2)C(x/2) = 2S(x/2)S(p-x/2) \le 2S(x/2)S(p/2) = 2^{1/2}S(x/2),$$ así que por la inducción que nos dan para el entero no negativo $n$ $$S(2^{-n}p) \le 2^{-n/2}.$$

Ahora podemos mostrar $S$ es continua en a $0$: Dado cualquier $\epsilon > 0$, elija $n$ lo suficientemente grande como para que $2^{-n/2} < \epsilon$, y deje $\delta = 2^{-n}p$. Entonces si $|x| < \delta$, $$|S(x)| = |S(|x|)| \le |S(2^{-n}p)| \le 2^{-n/2} < \epsilon.$$

Ahora, cuando $x \in [-p,p]$ hemos $$1 - S(x)^2 = C(x)^2 \le C(x) \le 1$$ y el teorema del sándwich se aplica para demostrar que $C$ es continua en a $0$.

Ahora $S$ es continua en todas partes, porque para cualquier $x \in \mathbb{R}$, $$\lim_{h \to 0} S(x+h) = \lim_{h\to 0} [S(x)C(h)+C(x)S(h)] = S(x).$$ Por lo tanto $C$ también es continua en todas partes (desde $C(x) = S(p-x)$).

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Siguiente voy a mostrar que $S$ $C$ son definidas de forma exclusiva en un subconjunto denso de $\mathbb{R}$.

Tenga en cuenta que, si $x \in [0,p]$ $$C(x) = C(x/2)^2 - S(x/2)^2 = 2C(x/2)^2 - 1$$ que, junto con el $C(x/2) \ge 0$, implica $$C(x/2) = \sqrt{\frac{C(x)+1}{2}}.$$

Ahora supongamos que $S'$ $C'$ son otro par de funciones de la satisfacción de los axiomas. A continuación, $C'$ satisface la misma ecuación, por lo que podemos demostrar por inducción que para enteros $n \ge 0$, $$C(2^{-n}p) = C'(2^{-n}p).$$ Entonces a partir de la $S(x) = \sqrt{1 - C(x)^2}$ $x \in [0,p]$ tenemos $$S(2^{-n}p) = S'(2^{-n}p).$$ Por lo tanto, por la adición de fórmulas podemos ver que para todos los $m \in \mathbb{Z}$, $$S(2^{-n}mp) = S'(2^{-n}mp) \text{ and } C(2^{-n}mp) = C'(2^{-n}mp).$$ Ahora el conjunto $\{2^{-n}mp \mid m,n \in \mathbb{Z}, n \ge 0\}$ es denso en $\mathbb{R}$, por lo que la continuidad implica $S = S'$$C = C'$.

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Finalmente, las funciones $\sin(\pi x/{2p})$ $\cos(\pi x/{2p})$ satisfacer los axiomas, por lo $S(x) = \sin(\pi x/{2p})$$C(x) = \cos(\pi x/{2p})$.

Nota: Esto demuestra que $\sin$ $\cos$ son continuas (que yo no había asumido).

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Edit: supongo que no he probado la existencia (salvo apelando a la existencia de $\sin$$\cos$). Pero yo creo que esto funciona: yo ya demostró que la $S$ $C$ son definidas de forma exclusiva en el denso conjunto de $A = \{2^{-n}mp \mid m,n \in \mathbb{Z}, n \ge 0\}$. Así que si podemos demostrar que $S$ es uniformemente continua, entonces se podría extender (exclusivamente) a una función continua en todos los de $\mathbb{R}$. Pero para todos los $\epsilon > 0$, elija $n$ lo suficientemente grande como para que $2^{-n/2} < \epsilon/2$, y deje $\delta = 2^{-n}p$. Entonces si $|h| < \delta$, luego de la prueba de que $S$ es continua en a $0$ tenemos $|S(h)| < \epsilon/2$$|1-C(h)| \le 1-C(h)^2 = S(h)^2 \le |S(h)| < \epsilon/2$, por lo que \begin{align} |S(x + h) - S(x)| &= |S(x)C(h) + C(x)S(h) - S(x)| \\ &\le |S(x)|\,|1-C(h)| + |C(x)|\,|S(h)| \\ &< 1 \cdot \epsilon/2 + 1 \cdot \epsilon/2 = \epsilon. \end{align} Por lo $S$ (y, por tanto,$C$) es uniformemente continua.