Borel jerarquía no "colapso" antes de $\omega_1$

Question

Sé que $\bigcup_{\alpha < \omega_1} \Sigma_\alpha^0 = \mathcal{B}(X)$ para cualquier espacio polaco $X$, pero quiero saber si es realmente necesario para llevar a la unión para cada ordinal menos de $\omega_1$. Hay un ejemplo de un polaco espacio donde $\bigcup_{\alpha < \beta} \Sigma_\alpha^0 \varsubsetneq \mathcal{B}(X)$ por cada contables ordinal $\beta$? Lo que es el caso de $\mathbb{R}$ o $[0, 1]$?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Para complementar Yann la respuesta: Este es un buen problema, la posible duración de Borel jerarquías en diferentes espacios o sin asumir el axioma de elección. Ha sido estudiado en detalle por Arnie Miller. Ver

Arnold W. Miller. En la longitud de Borel jerarquías, Ann. De matemáticas. La lógica, 16 (3), (1979), 233-267. MR0548475 (80m:04003),

Arnold W. Miller. Largo Borel jerarquías, MLQ de Matemáticas. Registro. P., 54 (3), (2008), 307-322. MR2417803 (2009d:03120),

y

Arnold W. Miller. Descriptivo de la teoría de conjuntos y forzando. Cómo probar teoremas acerca de los conjuntos de Borel de la manera difícil. Notas de la conferencia en la Lógica, 4. Springer-Verlag, Berlín, 1995. MR1439251 (98g:03119).

Aquí hay una pequeña muestra de sus resultados:

Dado un espacio métrico separable $X$, que su fin de Baire $\mathrm{ord}(X)$ ser el menos $\alpha$ de manera tal que cada subconjunto de Borel $X$$\Sigma^0_\alpha$$X$. Por ejemplo, $\mathrm{ord}(\mathbb R)=\omega_1$, $\mathrm{ord}(X)=1$ si $X$ es discreto, $\mathrm{ord}(\mathbb Q)=2$, $\mathrm{ord}(X)\le 2$ para cualquier contables espacio métrico $X$.

El resultado que $\mathrm{ord}(X)=\omega_1$ siempre $X$ es incontable el polaco es debido a Lebesgue. Mazurkiewicz se les pidió identificar los ordinales $\alpha$ para los que podemos encontrar una $X\subseteq\mathbb R$$\mathrm{ord}(X)=\alpha$, y de Banach conjeturó que si $X\subseteq\mathbb R$ es incontable, a continuación,$\mathrm{ord}(X)=\omega_1$. (Ver En la longitud de Borel jerarquías precisas referencias.)

Kunen demostrado que de Banach de la conjetura de falla en el sentido fuerte de que si $\mathsf{CH}$ se mantiene, entonces para cada a$\alpha\le\omega_1$$2<\alpha$, hay un sinnúmero de $X\subseteq\mathbb R$$\mathrm{ord}(X)=\alpha$. Miller mejora esta mostrando que la existencia de un Luzin conjunto suficiente para este resultado. También prueba que de Banach que la conjetura es constante, y la cuenta de resultados bajo el axioma de Martin (por ejemplo, hay innumerables subconjuntos $X,Y$ del conjunto de Cantor con $\mathrm{ord}(X)=2$$\mathrm{ord}(Y)=3$).

Es compatible con $\mathsf{ZF}$ (sin elección) que el Borel jerarquía en los reales tiene una longitud de $\omega_2$ (los correspondientes modelos son bastante patológica. Por ejemplo, $\omega_1$ debe tener contables cofinality). Miller también muestra que para cualquier límite de $\alpha<\omega_2$ que es coherente que el Borel jerarquía de los reales tiene una longitud de $\alpha+1$. Suponiendo (significativo) gran cardenal supuestos, además, muestra que para cualquier $\lambda$ (no importa cuán grande) que es coherente que el Borel jerarquía tiene una longitud de, al menos,$\lambda$.

Answer 2

En

Alexander S. Kechris, Clásica descriptivo de la teoría de conjuntos, Springer-Verlag, 1995

cual es la referencia clásica para (clásica) descriptivo de la teoría de conjuntos, se encuentra en la página 168 el Teorema de 22,4 que dice

Para cualquier innumerables polaco espacio, el Borel jerarquía estricta. Que es para cada contables ordinal $\xi$, $\mathbf{\Delta}^0_\xi \subsetneq \mathbf{\Sigma}^0_\xi \subsetneq \mathbf{\Delta}^0_{\xi+1}$.

En particular, esto implica que por cada innumerables polaco espacio de $X$, y para cada contables ordinal $\xi$, $\bigcup_{\alpha<\xi} \mathbf{\Sigma}^0_\xi \subsetneq \mathcal{B}(X)$.

Aquí, supuse que usted está hablando acerca de la negrita clases, a pesar de que utiliza lightface notaciones.