Sistema de coordenadas frente a base ordenada

Question

Tengo un problema con la definición de sistema de coordenadas en geometría diferencial frente a la definición de sistema de coordenadas en álgebra lineal. El post es un poco largo, pero es necesario para que yo consiga mi punto de vista.

Dejemos que $V$ ser un $n$ -espacio normalizado sobre los reales y equipar $V$ con la topología que induce su norma. $V$ puede tener una estructura lisa natural, convirtiéndola en una $n$ -manifiesto. Ahora, dejemos que $\{v_1, \dots, v_n\}$ sea una base ordenada para $V$ . Cualquier $p \in V$ puede escribirse como $p = c^i v_i$ donde utilizamos la notación de Einstein. Esto significa que $p$ tiene la representación de coordenadas $(c^1, \dots, c^n)$ en relación con la base dada. Esto parece definir un sistema de coordenadas - no en el sentido geométrico diferencial habitual, pero si $V = \mathbb{R}^n$ entonces una base nos da ejes de coordenadas.

Sin embargo, también tenemos la definición habitual de un sistema de coordenadas sobre $p$ : El par ordenado $(U, \varphi)$ es un sistema de coordenadas sobre $p$ si $U \ni p$ y $U$ está abierto y $\varphi$ es un difeomorfismo sobre algún subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ . Esto nos permite identificar de forma natural $p$ con $(x^1(p), \dots, x^n(p))$ donde el $x^i$ son las coordenadas locales de $\varphi$ .

Así que parece que las dos definiciones de sistemas de coordenadas anteriores nos dan lo mismo: una forma de identificar de forma única $p$ con un punto de $\mathbb{R}^n$ que es precisamente lo que queremos. Sin embargo, las dos definiciones no son equivalentes. Permítanme demostrarlo:

Dado que $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita, haré la identificación habitual de $V$ con $T_p V$ y simplemente escribir $V$ en su lugar. Del mismo modo, aunque $p \in V$ También se utilizará indistintamente como elemento de $V$ así como $T_p V$ . Dado un sistema de coordenadas $(U, \varphi)$ induce una base de coordenadas en $p$ y esto es como un sistema de coordenadas en el primer sentido algebraico lineal que he descrito. Eso está bien. En un sentido geométrico diferencial, $p$ se identifica con $(x^1(p), \dots, x^n(p))$ . En un sentido algebraico lineal, podemos escribir $p = p^i \frac{\partial}{\partial x^i}$ donde $p^i = p(x^i)$ . La representación de coordenadas de $p$ en sentido algebraico lineal es entonces $(p^1, \dots, p^n)$ que se identifica naturalmente con $(x^1(p), \dots, x^n(p))$ . Por tanto, tanto si utilizamos la definición geométrica diferencial como la algebraica lineal del sistema de coordenadas, obtenemos la misma identificación $p \leftrightarrow (x^1(p), \dots, x^n(p))$ .

Sin embargo, las dos definiciones dieron la misma identificación sólo porque utilizamos una base de coordenadas. Por lo que he leído anteriormente (no recuerdo la fuente, pero estoy seguro de que los más entendidos lo sabrán), no todas las bases de $V$ es una base de coordenadas. Es decir, podría haber una base ordenada $\{w_1, \dots, w_n\}$ tal que ningún gráfico de coordenadas lo induce. Esto me molesta, porque al dar una base ordenada $\{w_1, \dots, w_n\}$ tenemos efectivamente un sistema de coordenadas - cada elemento de $V$ tiene una representación de coordenadas relativa a la base, PERO, esta base puede no dar lugar necesariamente a un gráfico de coordenadas. Así que ahora tenemos un sistema de coordenadas en un sentido (el algebraico lineal) pero no tenemos un sistema de coordenadas equivalente en el sentido geométrico diferencial. ¡Esto me molesta mucho!

La definición geométrica diferencial del sistema de coordenadas fue concebida para cuando no existe una definición algebraica lineal natural o útil del sistema de coordenadas: Es decir, para cuando no podemos identificar un colector con su espacio tangente. Pero en el caso de que el colector sea un espacio normado de dimensión finita, podemos identificar el colector con su espacio tangente (por ejemplo, $\mathbb{R}^n \leftrightarrow T_p \mathbb{R}^n$ ), por lo que en este caso, ambas definiciones deberían ser equivalentes, es decir, dar el mismo sistema de coordenadas, pero no lo hacen, como acabo de demostrar. ¿Cómo puedo conciliar esto?

Answer 1

(1) Dado cualquier espacio vectorial de dimensión finita $\Bbb V$ , una elección $(E_a)$ de base determina un isomorfismo lineal $\Phi : \Bbb R^n \to \Bbb V$ , $n := \dim \Bbb V$ , por $$\Phi(x^1, \ldots, x^n) := x^a E_a .$$ El mapa inverso, $\phi := \Phi^{-1} : \Bbb V \to \Bbb R^n$ define un preferido gráfico mundial sobre $\Bbb V$ y así se da cuenta $\Bbb V$ como un suave $n$ -manifiesto. (Siguiendo la afirmación de la pregunta, este procedimiento hace definir las coordenadas en $\Bbb V$ en el sentido diferencial-geométrico). Podríamos llamar a estos gráficos $\phi$ gráficos de coordenadas lineales en $\Bbb V$ .

A su vez, esta elección determina un marco del haz tangente, $T\Bbb V$ a saber, $(\partial_{x^a})$ que a su vez restringe en cada punto $v \in \Bbb V$ a una base $(\partial_{x^a}\vert_v)$ de $T_v \Bbb V$ . Lo que es especial para el caso de un espacio vectorial es que para cada $v \in \Bbb V$ hay una identificación canónica $\Psi_v : T_v \Bbb V \to \Bbb V$ a saber, $$\Psi_v : v^a \partial_{x^a}\vert_v \mapsto v^a E_a,$$ o simplemente $$\Psi_v : V \mapsto dx^a(V) E_a .$$ Aquí canónico significa que esta identificación no depende de nuestra elección de base, es una característica natural e incorporada de $\Bbb V$ . Tenga en cuenta, por cierto, que cuando $n > 0$ no todos los gráficos de coordenadas en $\Bbb V$ surgen de una base sólo hay una $n^2$ -familia de bases de parámetros, pero innumerables opciones de gráficos de coordenadas.

(2) Ahora, podemos ver que para cualquier $v \in \Bbb V$ cualquier base $(F_a)$ de $T_p \Bbb V$ es la restricción de un marco global inducido por una elección de base de $\Bbb V$ a saber, $(\Psi_v(F_a))$ . De forma más general, dada cualquier variedad lisa $M$ , punto $p \in M$ y la base $(F_a)$ de $T_p M$ se puede construir un gráfico suave $(U, \varphi)$ en $M$ , $U \ni p$ , de tal manera que $F_a$ es la restricción del marco de coordenadas, es decir, tal que $T_0 \varphi \cdot F_a = \partial_{x^a}\vert_0$ .

Por otro lado, no todos los marco local de $\Bbb V$ es inducido por una elección de base de $\Bbb V$ ---y de hecho, no todo marco local en una variedad suave $M$ ¡no es un marco de coordenadas! Así, para nuestro espacio vectorial $\Bbb V$ (cuando $n > 1$ ) hay inclusiones adecuadas

$$ \begin{align} &\{\textrm{coordinate frames of linear coordinate charts on $\Bbb V$}\} \\ &\qquad\qquad \subsetneq \{\textrm{(local) coordinate frames on $\Bbb V$}\} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad \subsetneq \{\textrm{(local) frames on $\Bbb V$}\} \\ \end{align} $$

Una forma de ver que esta última inclusión se mantiene (para todas las variedades de dimensión $n > 1$ ) es definir el Soporte de la mentira operación $[\,\cdot\, , \,\cdot\,] : \Gamma(TM) \times \Gamma(TM) \to \Gamma(TM)$ . En coordenadas viene dado por $$[X, Y] := (X^b \partial_{x^b} Y^a - Y^b \partial_{x^b} X^a) \partial_{x^a} ,$$ pero calculando la transformación de $[X, Y]$ bajo un cambio general de coordenadas muestra que no depende de una elección de coordenadas. Para cualquier gráfico de coordenadas $(U, \phi)$ la fórmula anterior da que el marco de coordenadas $(\partial_{x^a})$ satisface $[\partial_{x^a}, \partial_{x^b}] = 0$ para todos $a, b$ . Por otro lado, más marcos locales $(E_a)$ hacer no satisfacer $[E_a, E_b] = 0$ y por lo tanto no pueden ser los marcos de coordenadas de ningún gráfico de coordenadas.

Answer 2

Cada elección de una base $v_1,\ldots,v_n$ al espacio vectorial $V$ induce un isomorfismo lineal $V\to\mathbb{R}^n$ que es, en particular, un gráfico de coordenadas. Por otro lado, no todo gráfico de coordenadas es un isomorfismo lineal. En otras palabras, tenemos una inclusión $$\mathcal{L}\subset\mathcal{C},$$ donde $\mathcal{L}$ denota el espacio de lineal gráficos de coordenadas en $V$ et $\mathcal{C}$ denota el espacio de gráficos de coordenadas no necesariamente lineales en $V$ .

Utilizando el lenguaje del puesto, un gráfico de coordenadas en $\mathcal{L}$ preserva la identificación $V\cong T_pV$ mientras que un gráfico de coordenadas general en $\mathcal{C}$ no lo hace.