Aproximado de la unidad en $C_0(X)$ converge uniformemente en compactos de conjuntos

Question

Deje $(e_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda} \subseteq C_0(X)$ $X$ localmente compacto (aumento) aproximado de la unidad. Supongo que para cada compacto $K\subseteq X$ tenemos $\left\Vert 1-e_{\lambda}\right\Vert _{K\text{, }\infty}\rightarrow0$ y creo que no debe ser difícil de probar, pero no he logrado hasta ahora.

Answer 1

Desde $K$ es compacto, usted puede construir (por Urysohn del Lema) $f\in C_0(X)$$f|_K=1$. Para cualquier $k\in K$, $$ |(1-e_\lambda)(k)|=|f(k)-f(k)e_\lambda(k)|\leq\|f-fe_\lambda\|, $$ así $$ \|1-e_\lambda\|_K\leq\|f-fe_\lambda\|. $$