Autovalores de a $4\times 4$ parámetros de la matriz de

Question

Deje $a,b,c,d\in\Bbb{C}$ y

$B =\begin{bmatrix} a & b & c & d\\ d & a & b & c\\ c & d & a & b\\ b & c & d & a\\ \end{bmatrix}$

Sé que $t=a+b+c+d$ es un autovalor porque cada fila la suma es $t$ (y cada columna) y también sé que la suma de los autovalores es $4a$ (porque es igual a la traza de $B$). Sin embargo no sé cómo continuar.. y el cálculo de la chracteristic polinomio de $B$ no parece muy agradable. Alguna idea?

gracias

Answer 1

Primero es necesario descomponer el circulantes de la matriz:

$$B=a\left[\matrix{1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1}\right]+b\left[\matrix{0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0}\right]+c\left[\matrix{0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0}\right]+d\left[\matrix{0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0}\right]$$

$$B=a_0\cdot B_0+a_1\cdot B_1+a_2\cdot B_2+a_3\cdot B_3$$

donde $(a_0,a_1,a_2,a_3)=(a,b,c,d)$

Es fácilmente demostrado que $\forall i\in[0,3], B_i=P^i$ donde $P=B_1=\left[\matrix{0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0}\right]$

El polinomio característico de a $P$ es:

$$\chi_P(x)=|x\cdot I_4-P|=\left|\matrix{x&-1&0&0\\0&x&-1&0\\0&0&x&-1\\-1&0&0&x}\right|=x\cdot\left|\matrix{x&-1&0\\0&x&-1\\0&0&x}\right|-(-1)\cdot\left|\matrix{-1&0&0\\x&-1&0\\0&x&-1}\right|$$ $$\Rightarrow \chi_P(x)=x^4-1$$

Por lo tanto los autovalores de a $P$ son el 4-th raíces de la unidad:

$$Sp(P)=\left\{e^{i(2k\pi/4)},k\in[0,3]\right\}=\left\{e^{i(k\pi/2)},k\in[0,3]\right\}$$

Por lo tanto:

$$Sp(a_j\cdot P^j)=\left\{a_j\cdot e^{i(jk\pi/2)},k\in[0,3]\right\}$$

Además, el conjunto de matrices $\left\{(a_j\cdot P^j),j\in[0,3]\right\}$ viajes y $$B=\sum_{j=0}^3 a_j\cdot P^j$$

Por lo tanto

$$Sp(B)=\left\{\sum_{j=0}^3 a_j\cdot e^{i(jk\pi/2)},k\in[0,3]\right\}$$

Después de la simplificación, se obtiene que los valores propios de a $B$:

$$\Rightarrow\left\{\array{\lambda_0&=&a+b+c+d\\\lambda_1&=&(a-c)+i(b-d)\\\lambda_2&=&a-b+c-d\\\lambda_3&=&(a-c)+i(d-b)&=&\bar{\lambda_1}}\right.$$

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Nota 1: en efecto, obtener $a+b+c+d$ como un valor propio, y $4a$ como la suma de los autovalores, como usted menciona en su pregunta ;)

Nota 2: Este método puede ser generalizado a cualquier circulantes de la matriz de tamaño $n$, para que, a continuación, utilizar el n-ésimo raíces de la unidad.