Es bien sabido que filtros y ideales son duales. Me gustaría ver cómo expresar este hecho "categóricamente". Estaría muy agradecido si alguien pudiera ayudarme con ello.
Respuesta
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La dualidad entre los filtros y los ideales puede verse como describe Zhen Lin, y así responder a su pregunta de forma negativa. Una respuesta un poco más positiva (aunque sólo un poco) es notar que cualquier categoría que se invente a partir de filtros, también se puede inventar usando ideales (en efecto, usando la dualidad entre ellos). Las categorías resultantes serían entonces isomorfas (¡no duales!).
Dicho esto, la respuesta a su pregunta podría resultar positiva, pero no estoy seguro. El caso es que hay muchas formas de definir los morfismos en una categoría cuyos objetos son todos pares $(X,\mathcal F)$ donde $X$ es un conjunto y $\mathcal F$ es un filtro en él. Parece que hay bastante flexibilidad en la elección de los morfismos, así que tal vez exista uno que se adapte a tus necesidades.
Sólo para aclarar, hay dos categorías de filtros comúnmente consideradas, descritas en Artículo de Blass . Estas resultan ser nociones de categorías muy útiles (por ejemplo, para una hay una noción natural de producto tensorial, la otra es útil para el análisis constructivo no estándar).
