Yo estaba pensando en lo que sería el opuesto de un campo de extensión y supongo que podría ser este: Un campo de $F$ puede tener el elemento $\alpha$ eliminado si existe un subregistro $E=F$ tal que $E(\alpha)=F$. Usted podría llamar a $F\setminus(\alpha)$ algo así como una eliminación. La cosa sobre esto es que se puede deshacer cualquier extensión de campo. Es decir, $F(\alpha) \setminus (\alpha)=F$. ¿Este concepto tiene un nombre?
Así que, naturalmente, me estoy preguntando si alguno de los elementos puede ser "eliminado" en esta manera de $\mathbb{R}$. Me di cuenta de que para $\alpha=\sqrt{2}$, no existe tal campo $E$ tal que $E(\alpha)=\mathbb{R}$. Si no estaba, no iba a ser $a,b \in E$ tal que $2^{1/2}=a+b\sqrt{2}$ $\mathbb{R}$ es una extensión de $E$ y el cuarto de la raíz está en $\mathbb{R}$. El cuadrado, y con un poco de álgebra (con cuidado de evitar la división por cero), se da la contradicción de que $\sqrt{2} \in E$.
No he pensado en esto cuidadosamente, pero yo creo que para cualquier algebraica de números tenemos un fallo similar. Es decir, no es un polinomio de grado $n$, $p \in E(x)$, con $p(\alpha)=0$. A continuación, en particular, $\alpha^{1/k} = p_k(\alpha)$ $p_k$ grado $n$. Elevar a la $k$th poder llegamos $\alpha = q_k(\alpha)$ $q_k$ polinomio de grado $n$. Esto le da a un sistema lineal en $\alpha^k$ y mi corazonada es nonsingular o el singular de los casos pueden ser tratados.
El de arriba es para los números algebraicos. Creo que el de arriba se puede mostrar, por ejemplo, que el $\pi$ no puede trabajar, ya que es probable algebraicas sobre $E$ $E$ contiene muchos trascendental números. Esto es mucho más oscuro de mí, pero me hace pensar que no hay ningún elemento puede eliminar de $\mathbb{R}$.
Así que mi pregunta: ¿existe $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ y un campo de $F \subset \mathbb{R}$ tal que $F(\alpha)=\mathbb{R}$? Más específicamente, quiero $F$$\alpha \notin F$.
