Inmersión compacta $L^{p}\hookrightarrow L^{q}$

Question

Estaba estudiando el libro de Evans (Ecuaciones diferenciales parciales) y en la página 279 utiliza el hecho de que si una secuencia $u_{n}\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$ es tal que $$\|u_{n}\|_{\infty}\leq C$$ $C$ constante, entonces existe $u\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$ tal que una subsecuencia de $u_{n}$ converge débilmente en $L^{2}_{Loc}(\mathbb{R}^{n})$ a $u$ .

Ahora mi pregunta es: Si $\Omega$ es un dominio acotado, entonces $L^{p}(\Omega)\hookrightarrow L^{q}(\Omega)$ , donde $1\leq q<p$ y " $\hookrightarrow$ ¿" significa inmersión compacta?

Se agradece la respuesta a la pregunta o cualquier referencia.

Gracias

Answer 1

No.

Toma $\Omega = (-\pi, \pi)$ , $p=2$ , $q=1$ y considerar la secuencia $f_n(x) = e^{inx}$ que está acotado en $L^2$ . Esta secuencia es ortogonal en $L^2$ y por tanto converge a 0 débilmente en $L^2$ es decir $\int f_n g \to 0$ por cada $g \in L^2$ . (utilizar la desigualdad de Bessel).

Supongamos una subsecuencia $f_{n_k}$ converge en $L^1$ a algunos $f$ . Dejemos que $g = \operatorname{sgn} f \in L^\infty \subset L^2$ . Entonces, como se argumenta, $\int f_{n} g \to 0$ así que $\int f_{n_k} g \to 0$ también. Pero por otro lado $\int f_{n_k} g \to \int fg = \int |f|$ , por lo que debemos tener $f=0$ es decir $f_{n_k} \to 0$ en $L^1$ . Esto es absurdo porque $\|f_{n}\|_{L^1} = 2\pi$ para todos $n$ .

Hemos producido una secuencia acotada en $L^2$ sin $L^1$ -convergente, por lo que la incrustación de $L^2$ en $L^1$ no es compacto.