Relación entre la Arpillera de la Matriz y de la Curvatura de la

Question

De acuerdo a la matriz Hessiana, Se describe el local de la curvatura de una función.

AFAIK, para una función de variable $f(x)$, su curvatura es $$\kappa = \frac{|f''|}{(1 + f'^2)^{3/2}}$$, y su matriz Hessiana es $$\mathcal{Hess}(f) = [f'']$$, a la derecha? Y aquí está mi problema, creo que el local de la curvatura no es descrito por su matriz Hessiana, porque $f'$ también tiene su papel en ella, ¿no?

Y además, para 2-la función de variable $f(x,y)$, su matriz Hessiana es $$\mathcal{Hess}(f) = \left[ \begin{array}{cc} f_{xx}'' & f_{xy}'' \\ f_{xy}'' & f_{yy}'' \end{array} \right]$$, ¿cómo se relaciona el local de la curvatura de $f(x,y)$?

Answer 1

La matriz Hessiana describe la curvatura justo cuando el gradiente de f se desvanece ("Más informal de discusión" de la sección en wikipedia), en este momento ellos comparten la misma forma como $f' = 0$

La relación entre la matriz Hessiana y la curvatura en 2-la función de variable muestra como

$$K = {{{f_{xx}} \cdot {f_{yy}} - f_{xy}^2} \over {{{(1 + f_x^2 + f_y^2)}^2}}} = {{\det (Hess)} \over {{{(1 + f_x^2 + f_y^2)}^2}}}$$

Me encontré con el problema de ayer así y espero que sea de utilidad para usted.

Answer 2

Los dos tipos de curvatura que mencionas son bastante diferentes. El tipo de curvatura descrito por $\kappa$ es la "extrensic", la curvatura de la gráfica de $f(x)$. La idea es que este es el inverso del "círculo de mejor ajuste" a la gráfica. Se describe cómo rápidamente el gráfico de las curvas de $\mathbb{R}^2$. Hesse describe "intrínseca" de la curvatura. Este tipo de curvatura (a mi entender) es inherentemente dos dimensiones. En particular uno-múltiple es siempre plana con respecto a esta noción de curvatura.

Espero que esto ayude.

EDIT: me explico un poco más. Digamos que usted era un pequeño ser que vivía sobre la gráfica de la función $f(x)$. No habría forma de saber que no es una línea recta (la analogía aquí es la tierra, la gente pensaba que la tierra era plana durante tanto tiempo, porque desde la perspectiva que se ve plana). El mismo fenómeno se produciría en la línea. No nos busca en el gráfico desde el exterior se puede ver que se dobla esto es lo que quiero decir por "extrínseca".

Ahora con respecto a la esfera (vamos a suponer que la tierra es una esfera perfecta). Aunque parece plana, hay una manera para que los pequeños seres en la tierra para darse cuenta de que no es, sin entrar en el espacio y la mirada desde el exterior. La manera de entender esto es que la geometría Euclidiana no se sostiene sobre una esfera. Cualquier triángulo se dibuja sobre una esfera tendrá la suma de los ángulos de más de 180$^0$. Esta es una manifestación del tipo de "intrínseca" de la curvatura de la que me refiero.