Estoy teniendo problemas con este problema.
Traducción:
Una métrica $d$ sobre un continuum que se llama convexo si para cualquier par de puntos $p$ $q$ $X$ hay un punto de $x\in X$ tal que $d(p,x)=\frac12d(p,q)=d(q,x)$. Demostrar que si la métrica en $X$ es convexo, entonces las bolas están conectados, y $X$ está conectado localmente.
Una vez que las bolas se muestra que las bolas están conectados, la siguiente implicación sale gratis.
Mi idea es suponer que hay $x_0\in X$ $\epsilon_0>0$ tal que $B(x_0,\epsilon_0)=\{x\in X:d(x,x_0)<\epsilon_0\}$ no está conectado. Luego hay$U$$V$, abiertos disjuntos y no vacíos, tales que $B(x_0,\epsilon_0)=U\cup V$.
La siguiente parte es complicado escribir, pero la idea es construir una secuencia de Cauchy en $B(x_0,\epsilon_0)$, y dado que estamos en un compactum va a converger a algún elemento de $X$, que en el hecho de estar en el límite de $B(x_0,\epsilon_0)$.
Para hacer esto podemos suponer sin pérdida de generalidad que $x_0\in U$. Deje $x_1\in V$. Desde $d$ es convexa hay un $x_2\in X$ tal que $d(x_0,x_2)=\frac12d(x_0,x_1)=d(x_1,x_2)$. A continuación, $x_2\in U\cup V$ (desde $d(x_0,x_2)<d(x_0,x_1)<\epsilon_0$).
Si $x_2\in U$, entonces nos fijamos en $x_1\in V$, $x_2\in U$, y hay un $x_3\in X$ tal que $d(x_1,x_3)=\frac12d(x_1,x_2)=d(x_2,x_3)$. (De nuevo vemos que el $x_3\in B(x_0,\epsilon_0)$ y, además,$d(x_0,x_3)<\frac12\epsilon_0$.)
Si $x_2\in V$, entonces nos fijamos en $x_0\in U$, $x_2\in V$, y hay un $x_3\in X$ tal que $d(x_0,x_3)=\frac12d(x_0,x_2)=d(x_2,x_3)$. (De nuevo vemos que el $x_3\in B(x_0,\epsilon_0)$ y, además,$d(x_0,x_3)<\frac12\epsilon_0$.)
Espero que la construcción de la secuencia $(x_n)$ se entiende. Según yo, uno puede demostrar que nos satisfaga las dos condiciones siguientes:
i) $d(x_n,x_{n+1})<\frac1{2^n}\epsilon_0$ todos los $n$ (por lo que será de Cauchy)
ii) $d(x_0,x_n)<\frac12\epsilon_0$ todos los $n$
Entonces por un lado tenemos a $(x_n)\to x$ algunos $x\in X$. A continuación,$x\in\operatorname{bdry}B(x_0,\epsilon_0)$. Pero por otro lado, $d(x_0,x)\le d(x_0,x_n)+d(x_n,x)<\frac12\epsilon_0+\frac12\epsilon_0=\epsilon_0$ por cada $n\ge k$ algunos $k\in \mathbb{N}$. A continuación,$x\in B(x_0,\epsilon_0)$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, el abrir las bolas están conectados, y por lo tanto $X$ está conectado localmente.
Yo en realidad no sé si esta prueba está bien o si hay otra manera más fácil. Espero que pueda ayudar. Gracias.
"Una métrica $d$ en un continuo se llama convexa si para cualesquiera 2 puntos p y q de X, existe naciones unidas punto $x\in X$ tal que $d(p,x)=\frac{1}{2}d(p,q) =d(q,x)$. Prueba que si la métrica para X es convexa, entonces las bolas hijo conexas y entonces X es localmente conexa."
Una vez teniendo lo de que las bolas hijo conexas, la siguiente implicación viene de regalo. Ahora, mi idea es suponer que existe $x_{0} \in X$ s $\epsilon _{0} >0$ talque $B(x_{0},\epsilon _{0})=\left\{ x\in X : d(x,x_{0})<\epsilon_{0} \right\}$ no es conexa. Entonces existen U y V abiertos, ajenos, no vacíos cuentos que $B(x_{0},\epsilon _{0})=U\cup V$. La siguiente parte es complicada de escribir, pero la idea es construir una sucesión de Cauchy en $B(x_{0},\epsilon _{0})$ y como estamos en un compacto ésta va a converger en un algún elemento de X, que de hecho estará en la frontera de $B(x_{0},\epsilon _{0})$. Para hacer esto, supongamos, el pecado pérdida de generalidad, que $x_{0}\in U$. Mar $x_{1}\in V$, como d es convexa existe $x_2\in X$ tal que $d(x_{0},x_{2})=\frac{1}{2}d(x_{0},x_{1}) =d(x_{1},x_{2})$, entonces (haciendo cuentitas $x_{2}\in B(x_{0},\epsilon _{0})$) entonces $x_{2}\in U\cup V$.
Si $x_{2}\in U$ entonces nos fijamos en $x_{1}\in V,x_{2}\in U$ entonces, existe $x_{3}\in X$ talque $d(x_{1},x_{3})=\frac{1}{2}d(x_{1},x_{2}) =d(x_{2},x_{3})$. (de nuevo haciendo cuentas podemos llegar a que $x_{3}\in B(x_{0},\epsilon _{0})$ pero además $d(x_{0}, x_{3})< \frac{1}{2} \epsilon_{0}$.
Si $x_{2}\in V$ entonces nos fijamos en $x_{0}\in U,x_{2}\in V$ entonces, existe $x_{3}\in X$ talque $d(x_{0},x_{3})=\frac{1}{2}d(x_{0},x_{2}) =d(x_{2},x_{3})$. (de nuevo haciendo cuentas podemos llegar a que $x_{3}\in B(x_{0},\epsilon _{0})$ pero además $d(x_{0}, x_{3})< \frac{1}{2} \epsilon_{0}$.
Espero, que se entienda cómo va a ser la construcción de la sucesión $(x_{n})$ Según yo, se puede probar que así construida vamos a tener las siguientes dos condiciones:
i)$d(x_{n},x_{n+1})< \frac{1}{2^{n}}\epsilon_{0} \forall n$ (por lo tanto va a ser de Cauchy)
ii) $d(x_{0},x_{n})< \frac{1}{2}\epsilon_{0} \forall n$
Entonces, por un lado tenemos que $(x_{n}) \longrightarrow x$ para algún $x\in X$. Entonces $x\in Fr(B(x_{0},\epsilon _{0}))$. Pero por otro lado $d(x_{0}, x)\le d(x_{0}, x_{n})+d(x_{n},x)< \frac{1}{2}\epsilon_{0} + \frac{1}{2}\epsilon_{0}= \epsilon_{0}$ $\forall n\ge k$ para alguna $k\in \mathbb{N}$. Entonces $x\in B(x_{0},\epsilon _{0})$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto las bolas abiertas hijo conexas y por lo tanto X es localmente conexo.
La verdad no se si esta demostración esté bien o si hay otra forma más sencilla. Espero me puedan ayudar. Gracias.
