La ramificación en el anillo de todos los enteros algebraicos

Question

Si $F$ es una extensión finita de $\mathbb{Q}$ luego de su enteros $R$ es un dominio de Dedekind, y tiene la única factorización de ideales en potencias de primer ideales. Para cada número primo $\ell$, a continuación, puede ver cómo se $\ell R$ se descompone y los factores primos de este ideal son exactamente los números primos de $\mathfrak{q}\subset R$ tal que $\mathfrak{q}\cap \mathbb{Z} = (\ell)$. Si $F$ es de Galois sobre$\mathbb{Q}$, $Gal(F/\mathbb{Q})$ actúa transitivamente sobre el conjunto del primer ideales se encuentra por encima del $\ell$.

¿Cuál es la situación si nos fijamos en el ring $R'$ de todos los enteros algebraicos en $\overline{\mathbb{Q}}$? He leído en algún lugar que $R'$ es un no-noetherian dominio de la dimensión de krull $1$ y es integralmente cerrado, por lo que es falta noetherianity.

Me refiero a preguntar,

1. Si $\ell$ es un racional prime, hay sólo un número finito de primer ideales de $R'$ se encuentra por encima del $\ell$?
2. Qué $Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ act transitivamente en el conjunto de los números primos?

Mejor aún, sería bueno saber acerca de referencia para estas cosas.

Answer 1

Es más fácil entender primer ideales en la algebraica de los números enteros mirando su intersección con la normal el número de campos :

Deje $O$ ser el anillo de enteros algebraicos. Si $\mathfrak p$ es un alojamiento ideal en $R$ $\Bbb Q \subset K \subset \overline{\Bbb Q}$ es un finita de Galois de la extensión, a continuación, $\mathfrak p_K = \mathfrak p \cap K$ es un primer ideal de $O_K = O \cap K$. Desde $\overline{\Bbb Q} = \bigcup K$,$\mathfrak p = \bigcup \mathfrak p_K$, y por lo tanto los datos de la $\mathfrak p_K$ es suficiente para recuperar la $\mathfrak p$.

Por el contrario, si se nos da una familia $(\mathfrak p_K)$ por cada $K$, de tal manera que cada vez que $K \subset L$, $\mathfrak p_K = \mathfrak p_L \cap K$, a continuación, $\mathfrak p = \bigcup \mathfrak p_K$ es un primer ideal de $O$.

La acción del grupo de Galois es también completamente determinado por las acciones de $Gal(K/\Bbb Q)$$\mathfrak p_K$ : si tenemos una familia $\sigma_K$ tal que $\sigma_L|_K = \sigma_K$ al $K \subset L$, entonces el encolado de las $\sigma_K$ dar un automorphism $\sigma$$\overline{\Bbb Q}$. A continuación,$(\sigma(\mathfrak p))_K = \sigma_K(\mathfrak p_K)$.

Si es más fácil, usted puede recoger una secuencia finita de Galois extensiones $K \subset K_1 \subset K_2 \subset \ldots$ tal que $\bigcup K_n = \overline{\Bbb Q}$, y sólo el uso de los campos. Entonces, para la construcción de un ideal de a $O$, usted puede comenzar a partir de un ideal de a $\Bbb Z$ y encontrar una secuencia de números primos de $O_{K_i}$ mintiendo uno encima del otro. Del mismo modo, para la construcción de un automorphism, inicio de $id_\Bbb Q$ y encontrar una secuencia de automorfismos de a $K_i$ ampliar el uno al otro.

Desde allí es fácil ver que, si $\mathfrak p_K$ es una de las principales de $O_K$, entonces hay una cantidad no numerable) de los números primos $\mathfrak p$ sobre $\mathfrak p_K$, y que la acción de $Gal(\overline{\Bbb Q}/K)$ en ellos es transitiva.

Como un ejemplo claro, elige un primer entero $p$ y un vistazo a las extensiones $ \Bbb Q(\sqrt q)$ donde $q$ es el primer y $q \equiv 1 \pmod p$. Para cada $q$, $q$ es una plaza de mod $p$, lo $(p)$ se divide en dos ideales en $\Bbb Q(\sqrt q)$. Y para cualquier finito de la familia $(q_1,\ldots,q_n)$, $2^n$ primer ideales por encima de $p$ en la composición de la $\Bbb Q(\sqrt {q_1} \ldots \sqrt{q_n})$. Buscando en la infinita extensión de $\Bbb Q(\sqrt{q_i})$, obtenemos una cantidad no numerable de los ideales por encima de $(p)$.