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Question

Supongamos $cf(x)=f(cx)$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Yo creo que lo que sigue es que $f(x+y)=f(x)+f(y)$.

Prueba: Hay algunos $c$ tal que $y=cx$. Entonces $$f(x+y)=f\left((1+c)x\right)=(1+c)f(x)=f(x)+cf(x)=f(x)+f(cx)=f(x)+f(y)$$

QED.

Me pregunto si lo mismo vale para cuando $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$? No puedo usar el mismo truco, porque todos los vectores no son múltiplos escalares.

Traté de pensar en ella en términos de unidades de base, pero no llegar a ninguna parte.

Answer 1

Deje $$ f(x,y) = \begin{cases} (x,y) & xy > 0 \\ 0 & xy \leq 0 \end{cases} $$

Está claro que $cf(\vec{z}) = f(c\vec{z})$ cualquier $c\in \mathbb{R}$. Pero $f$ es no lineal en el mapa.

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más de contador ejemplos pueden ser construidos en coordenadas polares. Deje $(r,\omega)\in \mathbb{R}_+ \times \mathbb{S}^{n-1}$ denotan las coordenadas esféricas de $\mathbb{R}^n$. A continuación, un mapa

$$ f(r,\omega) = (\lambda(\omega)r,\omega) $$

satisface $cf(\vec{v}) = f(c\vec{v})$ por cada $\lambda:\mathbb{S}^{n-1}\to \mathbb{R}$ que satisface $\lambda(\omega) = \lambda(-\omega)$. Es obvio que muchos de estos no son lineales.

Answer 2

Si $f(cx) = cf(x)$ $f(x) = xf(1)$ y el resultado sigue trivialmente.
Hay dos maneras de extender esto a múltiples variables.

En el caso de $f(cx, y) = f(x, cy) = cf(x, y)$ tenemos que $f(x, y) = xyf(1, 1)$ y de nuevo tenemos la linealidad.

En el caso de $f(cx, cy) = cf(x, y)$ tenemos $f(x, y) = xf(1, \frac{y}{x})$. Observe que ahora $f(1, \circ)$ podría ser cualquier función.