Un ejemplo de un grupo, un subgrupo y un elemento, que satisfacen una condición determinada.

Question

¿Hay un grupo $G$ un subgrupo $H$ y un elemento $x$ de tal manera que $xHx^{-1} \subset H$ pero $xHx^{-1} \neq H$ ?

Gracias de antemano.

Answer 1

Sí, existe tal grupo, subgrupo y elemento.

Considere el grupo simétrico de los números enteros $ \text {Sym}( \mathbb {Z})$ . Puedes pensar en esto como el grupo de permutaciones sobre los números enteros. Dejemos que $H$ ser el conjunto de permutaciones que fijan los números enteros negativos. Que $x$ ser la permutación que satisfaga $x(a) = a-1$ .

Consideremos $x^{-1}Hx$ . Primero $x$ desplaza todos los números enteros hacia abajo, cualquier elemento en $H$ fija los números enteros en todas las ranuras negativas, y $x^{-1}$ cambia los números enteros hacia arriba. Esto significa que los números enteros en las ranuras menos que $1$ están todos arreglados.

Dado que el grupo de permutaciones que fijan números enteros inferiores a $1$ es un subgrupo de las permutaciones que fijan los números enteros negativos, tenemos que $x^{-1}Hx \subset H$ . Pero $x^{-1}Hx$ no contiene ninguna permutación que cambie el $0$ la entrada, así que $x^{-1}Hx \neq H$ .

Note que requiero pivotalmente un grupo infinito de no etiquetados. Cualquier grupo abeliano sólo tiene subgrupos normales. Si el grupo es finito, entonces $x^{-1}Hx$ tendrá el mismo tamaño que $H$ y así la contención significa igualdad.