Problema con respecto a los subgrupos de Sylow y normalizadores

Question

Tengo el siguiente problema:

Deje $P$ ser un subgrupo de Sylow de un grupo de $G$. Probar que si $x$ $y$ son elementos de la centralizador de $P$ que está conjugado en el $G$, son también conjugado en el normalizador de la $P$.

Todas las sugerencias serán bienvenidas. Gracias de antemano.

Answer 1

Los siguientes pasos conducen a una solución. Por favor, tenga en cuenta que puedo usar la siguiente notación: si $z,w\in G$,$z^w=w^{-1}zw$, es decir, $z^w$$\textit{conjugation}$$z$$w$. Del mismo modo, si $H$ es un subgrupo de $G$,$H^w=\{z^w:z\in H\}$$\textit{conjugation}$$H$$w$.

(1) Vamos a $C=\textbf{C}_G(P)$ $N=\textbf{N}_G(P)$ denotar el centralizador y normalizador de la $P$ $G$ respectivamente. También, vamos a $x,y\in C$ ser conjugado en $G$.

(2) El "truco" es de observar que los $P\subseteq \textbf{C}_G(y)$ (el centralizador de $y$$G$) y $P\subseteq \textbf{C}_G(x)$. Elija $g\in G$ tal que $y=x^g$. Demostrar que $(\textbf{C}_G(x^g))=(\textbf{C}_G(x))^g$.

(3) Deducir que $P^g\subseteq \textbf{C}_G(y)$. Por lo tanto $P$ $P^g$ son Sylow $p$-subgrupos de $\textbf{C}_G(y)$. El uso de la Sylow $C$-teorema de la $\textbf{C}_G(y)$; es decir, utilizar el hecho de que $P$ $P^g$ son conjugado en $\textbf{C}_G(y)$.

(4) a la Conclusión de que $x$ $y$ son conjugado en $\textbf{N}_G(P)$.

Creo que este resultado es debido a Burnside y también se le conoce como $\textbf{Burnside's Fusion Lemma}$.