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Un ejercicio en la categoría de teoría

Consideremos el siguiente diagrama conmutativo en un Abelian categoría:

$$\requieren{AMScd} \begin{CD} @. A @>{f}>> B @>{g}>> C @>>> 0\\ @. @V{h}VV @VV{i}V @VV{j}V\\ 0 @>>> D @>>{k}> E @>>_l> F, \end{CD}$$

donde las filas son exactas. Demostrar que existe un morfismos $p:C\to E$ tal que $lp=j$ si y sólo si hay un morfismos $q:B\to D$ tal que $qf=h$

Sabemos por la exactitud que $gf=0,g=coker(f), lk=0, k=ker(l)$. He intentado utilizar estos para demostrar que $(B,i)$ es otro núcleo de $l$ con el fin de obtener un morfismos de$B$$D$, pero parece que no funciona. $\textbf{Hints are welcome}$

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Justin Puntos 218

Supongamos $lp=j,$ obtenemos $lpg=jg,$ y desde $li=jg$ $lpg-li$ es el cero mapa, por lo $l(pg-i)$ es demasiado, por lo $pg-i$ "en el núcleo de $l$" (cosa que no se puede, literalmente, dicen desde que estamos en un abelian categoría, y los objetos no pueden ser conjuntos), pero conseguimos $pg-i:B\longrightarrow D,$, por lo definen $q=pg-i.$ Si usted se está preguntando por qué podemos restar los mapas, cabe recordar que los morfismos $\hom(A,B)$ formar un grupo abelian sí mismos.

Un argumento similar se debe trabajar para la dirección inversa.

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