Calcula $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^a}$

Question

¿Cómo puedo calcular $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^a}$ para algunos $a \in \mathbb R$ con $x^a := e^{a \log(x)}$ ?

Quiero utilizar sólo las propiedades básicas de los límites, es decir, la linealidad, la multiplicatividad, la monotonicidad y la propiedad Sandwich (no L'Hospital).

¿Puedes darme una pista?

Answer 1

Puede encontrar útil la siguiente línea de pensamiento.

elija $x_0$ para que $e^{x_0}\gt 2^a$ y escribir $f(x)$ para $e^x$ y $g(x)=x^a$ para que $$ h(x) = \frac{e^x}{x^a} = \frac{f(x)}{g(x)} $$

entonces $$ h(2x_0)= \frac{f(x_0)^2}{2^a g(x_0)} = Kh(x_0) $$ donde $K=\frac{f(x_0)}{2^a} \gt 1$ y entonces tenemos $$ h(2^nx_0) = K^nh(x_0) $$

Answer 2

Otro método para probarlo es con la definición de $e^x$ como $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$

Tome $n \in \mathbb{N}$ tal que $a<n$ de lo que se deduce que

$$ \frac{e^x}{x^{a}} > \frac{e^x}{x^n} = \frac{1}{x^n} \sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i !} > \frac{1}{x^n}\frac{1}{(n+1)!}x^{n+1}=\frac{x}{(n+1)!} \longrightarrow \infty $$ para $x \longrightarrow\infty$ .

Answer 3

He aquí una prueba totalmente elemental. Primero tenemos que si $a>1$ entonces

$$n+1\leq a^n$$ para que sea lo suficientemente grande $n$ . Esto se deduce del teorema del binomio,

$$(a-1)^2\frac{n(n-1)}{2} < (1+(a-1))^n$$

ahora eligió $n$ lo suficientemente grande como para que $$n+1 < (a-1)^2\frac{n(n-1)}{2}$$ que es claramente posible.

Siguiente, $$x < a^x$$ para que sea lo suficientemente grande $x$ ya que si $n\leq x < n+1$ entonces

$$x <n+1 < a^n <a^{x} $$

Ahora se deduce que

$$x^k < a^x$$ para todos los grandes $x$ . Sólo deja que $a=b^k$ entonces

$$x < b^x$$ y tomar el poder $k$ ,

$$x^k < a^x.$$

De ello se desprende que, dado $k$ ,

$$x^{k+1} < a^x$$ y así

$$x<\frac{a^x}{x^k}$$ y el límite es el infinito.