dominio inicial de $f : X \rightarrow Y$ en Haus equipado con la más tosca de la topología?

Question

Si $f:X\rightarrow Y$ es inicial en la categoría Superior, a continuación, es fácil la prueba de que

(!) la topología en $X$ es el conjunto de preimages de abrir establece en $Y$.

Acaba de construir la topología $Z$ tener el mismo subyacente subconjunto como $X$ y dejar que el conjunto de estos preimages servir como topología. Luego de $g:Z\rightarrow X$ $x\mapsto x$ está claro que $fg$ es continua por lo que la conclusión que $g$ es continuo puede ser hecho. Entonces estamos listos. Pero ahora mi pregunta:

lo que si no trabajamos en $\textbf{Top}$, pero en la categoría de $\textbf{Haus}$?

La construcción de la topología de $Z$ no tiene que ser un espacio de Hausdorff (o estoy con vistas a algo aquí?) y si el hecho de que $f$ es la inicial en $\textbf{Haus}$ funcionaría entonces para justificar la conclusión de que $g$ puede ser reconocido como una flecha en $\textbf{Haus}$.

Es allí una manera de salir? O - aún más - es la declaración (!) no es cierto en $\textbf{Haus}$?

Answer 1

Inicial topologías no necesita ser Hausdorff. Por ejemplo, para cualquier conjunto $X$, la topología inicial inducida por el único mapa $X \to 1$ es Hausdorff si y solo si $X$ tiene cardinalidad $\le 1$.

Peor aún, no hay necesidad de ser una topología inicial entre el Hausdorff. Por ejemplo, supongamos $X$ es un conjunto infinito con la misma cardinalidad como $\mathbb{R}$. A continuación, para cada subconjunto $S \subseteq X$ si $S \ne X$$S \ne \emptyset$, entonces existe un Hausdorff la topología en $X$ tal que $S$ no está abierto. (Si $S$ tiene cardinalidad estrictamente menor que $X$, luego topologise $X$, de modo que $X \cong \mathbb{R}$, y observar que todos los no-vacío abierto subconjunto de $\mathbb{R}$ tiene cardinalidad igual a $\mathbb{R}$; de lo contrario, elija un adecuado bijection $X \cong \mathbb{R}$, de modo que $S$ se identifica con $[0, 1] \subseteq \mathbb{R}$, que no está abierto.) Por lo tanto, la topología en $X$ que es más grueso que el de todas las topologías de Hausdorff en $X$ es la topología indiscreta en $X$, que no es Hausdorff.

Answer 2

Un continuo $f: X \to Y$ es por definición inicial de la fib [$(∀Z\in\mathbf{Top} ) (∀g: Z \to X)$ $g$ es continua iff $f g$ es continuo]. En $\mathbf{Top}$ lo que equivale a $X$ contar con la inicial de la topología inducida por $f$. Y también es equivalente en $\mathbf{Haus}$ ya que (como se señaló) inicial morfismos en $\mathbf{Haus}$ son precisamente las incrustaciones.

Vamos $f: X \to Y$, $Y$ Hausdorff. Entonces la topología inicial en $X$ es Hausdorff si y solo si $f$ es inyectiva. Si $f$ no es inyectiva entonces topología inicial en $X$ no $T_0$ ya que los puntos con la misma imagen no son topológicamente distinguibles. Por otro lado, si $f$ es inyectiva, entonces la topología inicial en $X$ es el subespacio de topología y de ahí Hausdorff.

Deje $f: X \to Y$ inicial en $\mathbf{Haus}$ (para $X$, $Y$ son Hausdorff). A continuación, $f$ es inyectiva.
Prueba: Supongamos $Z$ ser algún espacio de Hausdorff, $∅ ≠ A ⊊ Z$ sin abrir. Deje $f(x) = f(x')$, luego deje $g: Z \to X$ mapa de $A$$x$$Z \setminus A$%#%. A continuación, $x'$ no es continua desde $g$ es no abrir y $A$ es de Hausdorff. Pero $X$ es constante por lo $fg$ no puede ser inicial.

Así que si $f$ es la inicial en $f: X \to Y$, entonces la topología inicial en $\mathbf{Haus}$ es Hausdorff por la proposición anterior y por lo $X$ es una incrustación.

Tenga en cuenta que las mismas pruebas de trabajo para $f$, $T_0$, $T_1$, $T_3$ y cualquier subcategoría de $T_{3\frac{1}{2}}$ espacios cerrados bajo subespacios, y que contiene algunos de los no-espacio discreto.