$\int |f+g|^p \leq \int |f|^p + \int |g|^p$ $p>0$ $f, g \in L^p$?

Question

$(\Omega, \mathcal{F}, u)$ es una medida de espacio, y $L^p(\Omega, \mathcal{F}, u)$ es su $L^p$ espacio. Definir $N_p(f) = \int_{\Omega} |f|^p\, d\mu$. $\forall f, g \in L^p(\Omega, \mathcal{F}, u)$,

1. al $0<p<1$, $N_p(f+g) \leq N_p(f)+N_p(g) $ is true according to Wikipedia. This can help to show that $L^p(\Omega \mathcal{F}, u)$ es un espacio vectorial. Me preguntaba cómo demostrar la desigualdad es verdadera?

2. al $p \geq 1$, es la desigualdad $N_p(f+g) \leq N_p(f)+N_p(g) $ todavía verdad?

   Si no,

   (1) la desigualdad ser modificado para ser verdad? Nota: no estoy preguntando acerca de la el triángulo de la desigualdad de $L^p$ norma.

   (2) ¿cómo se puede demostrar que $L^p(\Omega, \mathcal{F}, u)$ es un espacio vectorial?

Gracias y saludos!

Answer 1

1. Esto es debido a que $(a+b)^p\leq a^p+b^p$ cuando $0<p<1$, $a\geq 0$, y $b\geq 0$, como se ve por ejemplo aquí.

2. No si $p>1$. Para $p\geq 1$ $(a+b)^p\leq 2^{p-1}(a^p+b^p)$ al$a\geq0$$b\geq 0$. Esto puede ser demostrado mediante la reorganización de la desigualdad $\displaystyle \left(\frac{a+b}{2}\right)^p\leq\frac{1}{2}(a^p+b^p)$, lo que sigue a partir de la convexidad de la función de $x\mapsto x^p$. Usted necesita el factor de $2^{p-1}$, como puede verse por tomar $a=b=1$. Menos afilados versión se le preguntó acerca de aquí.