¿Por qué la semántica de primer orden de la lógica requieren el dominio no vacío?

Question

Las diferentes descripciones de la semántica de Primer Orden de la Lógica, que he visto todos requieren que el dominio no está vacía.

Por qué esta restricción?

Esto significa que ciertas frases por ejemplo,$\exists x \; p \lor \neg p$, lo que, a mi parecer, contingente, salir como siempre la verdad.

Answer 1

Por un lado, hay una cierta irritación en tener que lidiar con el vacío de la estructura como un caso especial.

1. Hay varias identidades que sólo son válidos en un no-vacío de dominio, por ejemplo: $$ \big ( [ (\forall x) \phi ] \a \psi \) \equiv (\exists x) [\phi \a \psi] $$ al $\psi$ no hace mención de $x$. Estas identidades se usan para poner las fórmulas en forma normal prenex.

2. Incluso la definición de "verdad en una estructura" requiere que el dominio no vacío. Una forma común de la definición de la verdad en una estructura requiere de una función de asignación de las variables en el lenguaje de los objetos del dominio; no hay tal función cuando el dominio está vacía, y la totalidad de la definición de falla en ese caso. Por el contrario, la definición de verdad para una estructura vacía es diferente, ad hoc de la definición.

Por otro lado, uno de los objetivos principales de la lógica de primer orden es formalizar objetos matemáticos, como los grupos, las relaciones de equivalencia, etc. En muchos casos, estos objetos deben tener un vacío de dominio (por ejemplo, grupos) o son poco interesante cuando está vacío (por ejemplo, las relaciones de equivalencia, posets). Por lo que hay poca motivación para incluir el dominio vacío como un modelo posible, porque o bien no ser un modelo de las teorías que se estudia, o no será un modelo matemático de interés.

Sin duda es posible el estudio de la lógica en la que los modelos pueden ser vacío; de forma más general, uno de los estudios de "libre de la lógica" en el que los términos pueden no tener referentes. La razón por la que esto no se hace en la mayoría de los textos es que los autores no ven el esfuerzo que se justifica el beneficio.

Answer 2

Esto se hace para evitar algunos bastante problemas técnicos. Por ejemplo, considere la posibilidad de la declaración de $\forall x \bot$. Esto es cierto en la estructura vacía, pero de ella podemos (si no tenemos cuidado) inferir $\bot$, lo que obviamente es falso en cada estructura. La forma más sencilla de evitar esto es la prohibición de la estructura vacía. Hay otras maneras, sin embargo, la participación de cosas como ligeramente el debilitamiento de las reglas de inferencia. P. T. Johnstone hace en sus "Notas sobre lógica y teoría de conjuntos". Él argumenta que es mejor para hacer su lógica ligeramente fiddlier que hacer es incapaz de hablar perfectamente buena estructuras como (por ejemplo) el vacío poset.