Un teorema acerca de operador de la teoría de la

Question

Definir $$\operatorname{Ref}\mathcal{S}=\{T\in B(\mathcal{H}):Th\in[\mathcal{S}h], \forall h \in \mathcal{H}\},$$where $\mathcal{H}$ is a Hilbert space and $\mathcal{S}$ is a linear manifold of $B(\mathcal{H})$.

Una proposición de Conway libro Un Curso de Operador de Teoría dice que el $\operatorname{Ref}\mathcal{S^\ast}=(\operatorname{Ref}\mathcal{S})^\ast$ y la prueba se deja como un ejercicio fácil. No es fácil para mí, gracias a quien me puede decir una prueba o darme una pista.

Answer 1

Supongamos $T \in Ref(\mathcal{S})$, queremos mostrar que $T^{\ast} \in Ref(\mathcal{S}^{\ast})$. es decir. Para cualquier $h \in H$, queremos mostrar que $T^{\ast}h \in [\mathcal{S}^{\ast}h]$. Desde $[\mathcal{S}^{\ast}h]$ es cerrado, no es suficiente para mostrar que para cualquier funcional lineal $\varphi$$H$, $$ \varphi([\mathcal{S}^{\ast}h]) = 0 \Rightarrow \varphi(T^{\ast}h) = 0 $$ Por la Representación de Riesz, basta para demostrar que, para cualquier $y \in H$, $$ \langle S^{\ast}h, s\rangle = 0 \quad\forall S\in \mathcal{S} \Rightarrow \langle T^{\ast}h,s\rangle = 0 $$ $$ \Leftrightarrow \langle h, Sy\rangle = 0 \quad\forall S\in \mathcal{S} \Rightarrow \langle h, Ty\rangle = 0 $$ Pero para cualquier $y \in H$, $Ty \in [\mathcal{S}y]$, y así que esto es cierto. Por lo tanto, $T^{\ast} \in Ref(\mathcal{S}^{\ast})$, por lo que $$ Ref(\mathcal{S})^{\ast} \subconjunto Ref(\mathcal{S}^{\ast}) $$ El argumento es similar para los otros contención.