Elegante prueba de que $L^2([a,b])$ es separable

Question

Es que nadie es consciente de, o puede proporcionar, al menos, un esquema, de una prueba de que el espacio de Hilbert de Lebesgue de funciones de cuadrado integrable en el cerrado intervalo real [a,b], equipado con el $L^2$ norma, es separable?

He visto un feo prueba que implican trunca funciones por lo que no estoy desesperado, pero realmente me gustaría usar algo agradable. Por cierto, si se refiere a un concreto denso contables subconjunto, podría por favor explicar por qué es denso y contables aún si consideramos que es un bastante alto perfil' set?

Gracias

Answer 1

La sub-$\mathbb Q$-espacio vectorial generado por las funciones características de intervalos racionales de los puntos finales es contable y densa.

Answer 2

El conjunto de funciones de $\{e_n\colon n\in\mathbb{Z}\}$ dada por $$e_n(x) = \exp\left(2\pi in\frac{x-a}{b-a}\right)$$ is dense in $C[a,b]$ by the Stone-Weierstrass Theorem.* Since $C[a,b]$ is dense in $L^2[a,b]$, it follows that $\{e_n\colon n \in \mathbb{Z}\}$ is dense in $L^2[a,b]$.

*Técnicamente hablando, son densas en el espacio de funciones continuas normalizado de modo que $f(a) = f(b) = 1$. Sin embargo, esto no importa, ya que siempre podemos ver el $[a-\epsilon, b+\epsilon]$ lugar.