Dejemos que $G$ sea un grupo con la propiedad de que para cualquier conjunto de tres elementos distintos en $G$ , digamos que $x$ , $y$ , $z$ al menos dos de ellos se desplazarán. Demostrar que $G$ es abeliana.
No tengo ni idea de cómo iniciar este problema. Cómo puedo utilizar el hecho de que dos elementos para cualquier conjunto de tres elementos de $G$ de viaje.
Dado $a,b\in G$ , considere los tres elementos $a,b$ y $a^{-1}b^{-1}$ . Si $a$ y $b$ no se desplaza, entonces $a^{-1}b^{-1}$ se desplaza con al menos uno de $a$ y $b$ . Digamos que se conmuta con $b$ Entonces $$aba^{-1}b^{-1}=aa^{-1}b^{-1}b=1_G\;,$$ y $a$ y $b$ de viaje. Si en cambio $a^{-1}b^{-1}$ se desplaza con $a$ , $$a^{-1}b^{-1}ab=aa^{-1}b^{-1}b=1_G\;,$$ y de nuevo $a$ se desplaza con $b$ .
Añadido: Como señala Steve D, $a^{-1}b^{-1}$ puede ser igual a uno de $a$ y $b$ , en cuyo caso no tengo realmente tres elementos de $G$ . Si $a^{-1}b^{-1}=a$ entonces $b=a^{-2}$ que ciertamente conmuta con $a$ y el argumento es similar si $a^{-1}b^{-1}=b$ .
Está el caso (fácil) que has ignorado: si $a^{-1}b^{-1}$ es igual a $a$ o $b$ . Creo que generalmente la solución es utilizar $ab$ como tercer elemento, y observe que la conmutación con $a$ es lo mismo que viajar con $a^{-1}$ .
Supongamos que hay $a,b$ que no conmutan, y denotar el centralizador de $x$ como $C(x)$ .
La hipótesis dice que $G=C(a)\cup C(b)$ . Pero un grupo no puede ser la unión de dos subgrupos propios, por lo que uno de ellos, digamos $C(a)$ , es igual a $G$ .
Pero entonces $a$ es central y conmuta con $b$ una contradicción. Por lo tanto, $G$ es abeliana.
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¿Conoces el lema de que un grupo nunca es la unión de dos subgrupos propios? Eso hace que este problema sea realmente sencillo (he utilizado esta estrategia en mi solución).