Un problema acerca de contorno integral

Question

Me decido a usar contorno de la integral para calcular el $I=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{(x-2)\sqrt{1-x^{2}}}$ pero hay un problema para mi resultado. La siguiente es mi proceso.

Denotar $f(z)=\frac{1}{(z-2)\sqrt{1-z^{2}}}$, vamos a [-1,1] a la corte y obtener dos ramas de la analítica

son $$f_{0}(z)=\frac{1}{(z-2)\sqrt{\left |1-z^{2} \right |}e^{i\frac{arg(1-z^{2})}{2}}}$$ y $$f_{1}(z)=\frac{-1}{(z-2)\sqrt{\left |1-z^{2} \right |}e^{i\frac{arg(1-z^{2})}{2}}}$$

Me tome el contorno de la siguiente manera:

Puedo obtener una ecuación que: $$ \lim_{r\rightarrow +\infty ,\varepsilon \rightarrow0^{+} }\int _{\Gamma}f_{0}(z)dz=\int_{-1 }^{1 }f_{0}(x){dx}+\int_{1 }^{-1}f_{1}(x){dx}+\lim_{r\rightarrow +\infty ,\varepsilon \rightarrow0^{+} }\left (\int _{\Gamma_{r}}+\int _{\Gamma_{\varepsilon }}+\int _{{\Gamma_{\varepsilon }}'} \right )f_{0}(z)dz $$

Yo trabajo que $\int _{\Gamma_{r}}f_{0}(z)dz=\int _{\Gamma_{\varepsilon }}f_{0}(z)dz=\int _{{\Gamma_{\varepsilon }}'}f_{0}(z)dz=0$ mientras $r\rightarrow +\infty $ $ \varepsilon \rightarrow 0^{+}$

y según el teorema de los residuos tengo que $$ \int _{\Gamma}f_{0}(z)dz=2\pi iRes(f_{0}(z),2)=2\pi i\lim_{z\rightarrow 2}\frac{1}{\sqrt{\left |1-z^{2} \right |}e^{i\frac{arg(1-z^{2})}{2}}}=2\pi i\frac{1}{\sqrt{3}e^{i\frac{\pi}{2} }}=\frac{2\pi }{\sqrt{3}}$$

de lo contrario, $\int_{-1 }^{1 }f_{0}(x){dx}+\int_{1 }^{-1}f_{1}(x){dx}=2I$

luego tengo el resultado que $I=\frac{1}{2}\frac{2\pi }{\sqrt{3}}=\frac{\pi }{\sqrt{3}}$

pero $I$ es explícitamente un negativo y el verdadero resultado es $-\frac{\pi }{\sqrt{3}}$

qué tiene de malo?

Answer 1

Definir $\sqrt{1-z^2}$ como el producto $\sqrt{1-z^2} = (\sqrt{1+z})(\sqrt{1-z})$ cuando la rama de corte para $\sqrt{1+z}$ es el verdadero intervalo de $(-\infty, -1]$ y la rama de corte para $\sqrt{1-z}$ es el verdadero intervalo de $(-\infty, 1]$.

Fuera de la real intervalo de $[-1, 1]$ la función de $\sqrt{1-z^2}$ es analítica (al $z$ es real y $z < -1$, cada factor como una discontinuidad que se expresa como un factor de o $-1$, y estos cancelar).

Ahora el cambio de uso de variables. Integrar su función sobre el contorno de $|z| = \frac{3}{2}$. Sustituto $z = \displaystyle \frac{1}{w}$. Entonces la integral se convierte en $$\int \limits_{|w| = 2/3} \frac{ \frac{1}{w^2} dw}{(\frac{1}{w^2} -2)\sqrt{1-\frac{1}{w^2}}}$$ Esto es igual a $$\int \limits_{|w| = 2/3} \frac{dw}{2i(\frac{1}{2}-w)\sqrt{1 - w^2} }$$ El integrando sólo tiene un polo en $w = 2/3$ así que usted puede utilizar la Residir Teorema para obtener $$\int \limits_{|z| = 3/2} \frac{dz}{(z - 2)\sqrt{1 - z^2} } = \int \limits_{|w| = 2/3} \frac{dw}{2i(\frac{1}{2}-w)\sqrt{1 - w^2} } = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}$$ El uso de la Integral de Cauchy Teorema, se puede ver que la izquierda integral (con el original integrando) da el mismo valor que un intervalo de más de un contorno rectangular $\gamma_\delta$ con esquinas en $\pm 1 \pm \delta i$ para valores pequeños de a $\delta$. La inspección de los valores del integrando $\frac{1}{(z - 2)\sqrt{1 - z^2} } $ $\delta \to 0$ muestra que el valor de $\frac{2\pi}{\sqrt{3}}$ de la integral de contorno es dos veces el valor de la valor de lo que buscan, con el signo invertido.

Aviso mediante el uso de los cortes de ramas que al $x = Re(z)$ $(-1, 1)$ $\delta$ es pequeña que usted consigue $$\sqrt{1+(x - \delta i)} = \overline{\sqrt{1+(x + \delta i)}}$$ $$\sqrt{1-(x - \delta i)} = -\overline{\sqrt{1-(x + \delta i)}}$$ así que $$\sqrt{1-(x - \delta i)^2} = -\overline{\sqrt{1-(x + \delta i)^2}}$$

Por lo tanto, al parametrizar la curva de $\gamma_\delta$ y tomar el límite, se obtiene

$$\int \limits_{\gamma_\delta} \frac{dz}{(z - 2)\sqrt{1 - z^2} } \to -2 \int \limits_{-1}^{1} \frac{dx}{(x - 2)\sqrt{1 - x^2} }$$ El signo se invierte porque la integral alrededor de $\gamma_\delta$ está en contra de las manecillas sino $\int \limits_{-1}^{1} \frac{dx}{(x - 2)\sqrt{1 - x^2} }$ es el límite de la integral de contorno tomado en sentido horario.

Así que la respuesta es $\displaystyle \frac{-\pi}{\sqrt{3}}.$