Intenté resolver para $x$ utilizando $x \log(3) = \log(x^2)
$$\log(3) = \frac{\log(x^2)}{x}$$
Estoy atascado en esta parte. ¿Cómo puedo aislar $x$ por sí mismo?
Se agradecería cualquier ayuda.
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user47515
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Dejemos que $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , $f(x)=3^x-x^2$ .
Tenga en cuenta que $f$ es continua y $f(0)>0$ y $f(-1)<0$ entonces existe $\alpha\in (-1,0)$ tal que $f(\alpha)=0$ es decir, $\exists \alpha \in(-1,0)$ tal que $3^{\alpha}-\alpha^2=0$ .
Sin embargo, sólo un método numérico resuelve este problema.
Matthew Scouten
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La única solución real es $$-2 \dfrac{W(\ln(3)/2)}{\ln(3)}$$ donde $W$ es el Función Lambert W . También hay soluciones complejas, correspondientes a las diferentes ramas de $-2 \dfrac{W(\pm\ln(3)/2)}{\ln(3)}$
Como escribió Robert Israel, las dos raíces de la ecuación son $$x_{\pm}=-2 \dfrac{W(\pm\ln(3)/2)}{\ln(3)}$$ La solución $x_-$ puede descartarse si $x$ se supone que es real porque, para este caso, el argumento de la función de Lambert es menor que $-\frac{1}{e}$ .
Como demostró Michael T, existe una solución tal que $-1<x<1$ (de hecho subiendo en $x=0$ encontramos que $3^0-0=1$ es positivo y entonces la raíz está en algún lugar entre $x=-1$ y $x=0$ ). Por inspección, se puede encontrar un rango aún más corto para la solución.
Como se le ha dicho, la solución no puede expresarse mediante funciones básicas y, si no se tiene acceso a la función de Lambert, sólo podrían utilizarse métodos numéricos. El esquema iterativo de Newton es probablemente el más sencillo y, partiendo de una conjetura razonable, ésta se actualizará según $$x+\frac{x^2-3^x}{3^x \log (3)-2 x}$$ Así que, siendo muy perezoso y comenzando el proceso iterativo en $x=0$ los iterados sucesivos serán entonces $-0.910239$ , $-0.703169$ , $-0.686137$ , $-0.686027$ que es la solución.
De forma más general, la solución de una ecuación como $$a b^x=x^c$$ tiene una solución que escribe $$x=-\frac{c W\left(-\frac{a^{\frac{1}{c}} \log (b)}{c}\right)}{\log (b)}$$
Soke
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No hay una forma algebraica sencilla de encontrar un valor numérico para resolver esta expresión, se necesitaría la función W de Lambert. Sin embargo, se puede afirmar que existe una raíz.
Utilizando la suposición (verdadera) de que $3^x - x^2$ es continua, podemos demostrar que existe una raíz mostrando que $3^x - x^2$ es positivo para un valor de $x$ y negativo para otro. Esto se deduce del teorema del valor intermedio.
Subcontratación $x = -1$ encontramos que $3^{-1} - (-1)^2 = \frac 13 - 1 = - \frac 23$ es negativo.
Subcontratación $x = 1$ encontramos que $3^1 - (1)^2 = 2$ es positivo.
Por lo tanto, existe una raíz y está en algún lugar entre $x = -1$ y $x = 1$ .
