Recientemente me pidió natural topologías sobre el conjunto de líneas en $\mathbb R^2$. Ahora estoy buscando una pregunta similar en el conjunto de $S_p$ de las secciones cónicas en $\mathbb R^2$ comparten el mismo foco $p$ (pero no es necesario tener el mismo eje mayor). La situación es una idealización de la eclíptica y todas las cosas en el sistema solar. Hay naturales topologías en este conjunto?
Respuestas
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N.H.
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Considerar como "cónicas" la puesta a cero de la ecuación ( $ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0$ .
Desde $(a,b,c,d,e,f)$ $(\lambda a, \lambda b, \lambda c, \lambda d, \lambda e, \lambda f)$ definir la misma ecuación para $\lambda \neq 0$, una cónica definir de forma natural un punto en $\mathbb P^5$, el verdadero espacio proyectivo de dimensión $5$.
No todos los puntos en $\mathbb P ^5$ le da una cónica, por lo que usted tiene que quitar los puntos de $(a,b,c,d,e,f)$ donde $abc = 0$, y donde $b^2 - 4ac = 0$. El último caso se da cónicas degeneradas (unión de dos líneas, o incluso una sola línea). Puesto que usted está en el real coordinar supongo que usted tiene que quitar algunos otros puntos (por ejemplo, la "cónica" $x^2 + y^2 + 1 = 0$ no tiene ningún punto real).
Finalmente, $\mathbb P ^5$ tiene un natural de la topología (el cociente de la topología), así que para un punto dado,$p$, las cónicas con el foco $p$ formulario de una variedad en el espacio de cónicas y por lo tanto tiene un natural de la topología.
Depende mucho de qué es exactamente lo que quieres llamar a una cónica. Mi primer impulso fue a lo largo de la misma línea de lo que N. H. escribió en un comentario (y más tarde en una respuesta): seis números para describir una cónica, pero múltiplos escalares de describir la misma cónica, por lo que este se parece a $\mathbb P^5$. Pero, a continuación, N. H. pasó a excluir cónicas degeneradas, aunque me gustaría tener el enfoque opuesto de la realidad, incluyendo cónicas degeneradas. Así, en una primera aproximación, yo diría que una cónica se define como un conjunto de puntos de $\{p\in\mathbb P^2\;|\;p^TAp=0\}$, descrito por una matriz simétrica
$$A=\begin{pmatrix}a&c&d\\c&b&e\\d&e&f\end{pmatrix}$$
(Algunos de mis coeficientes difieren de la N. H. la fórmula por un factor de dos, pero eso no hace ninguna diferencia para la topología.) La matriz no debe ser la matriz cero, pero aparte de que me gustaría incluir todo lo demás: el caso de $\det(A)=0$ cuando la cónica degenera a un par de líneas, y $\operatorname{rank}(A)=1$ donde estas líneas coinciden para formar una doble línea, y también casos como el de la matriz de identidad, donde las únicas soluciones complejas coordenadas. Pero eso es mi opinión personal, y la elección aquí, que tendrá un enorme impacto en la topología resultante.
En realidad, el escenario descrito es sólo la mitad de la verdad. A través proyectivas de la dualidad, que hace de la igualdad sentido para describir una cónica no en términos de incidencia puntos, pero en términos de la tangente a las líneas. Se diría que una línea de $l$ es una tangente a una cónica si satisface $l^TBl=0$. En la no-degenerada caso, $B$ simplemente ser cualquier múltiplo de la inversa de $A$. Pero en el caso de degeneración, que la definición se rompe. En su lugar se requiere de $(A,B)$ para formar un primal-dual par, es decir, $A\cdot B=\lambda\mathbb 1$ algunos $\lambda$ que incluso puede ser cero. Si $A$ tiene rango dos, a continuación, $B$ todavía puede ser calculada como el adjunto de a $A$. Pero si $A$ tiene rango uno (una doble línea), a continuación, $B$ no puede ser derivada a partir de ella, ya que cualquier par de (real, complejo, distinto o coincidentes) de los puntos en los que la doble línea pueden servir como los componentes que conforman $B$. Sinceramente, no sé cómo expresar este espacio de todas las cónicas en términos de topología.
Hago saber, sin embargo, cómo expresar los focos. Un punto de $p$ es un foco de si las dos líneas que conectan a la ideal círculo puntos de $(1,\pm i,0)$ son tangentes a la cónica. Dado que para el bien de la topología de la ubicación real de el origen es irrelevante, me gustaría considerar las $p=(0,0,1)$. Unirse a que el círculo de puntos que usted consigue
$$t_{1,2}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\\pm i\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mp i\\1\\0\end{pmatrix}$$
Ahora es más fácil mirar la doble matriz. Con el fin de evitar confusiones, voy a usar las diferentes letras de sus entradas.
$$B=\begin{pmatrix} g & k & l \\ k & h & m \\ l & m & n \end{pmatrix} \qquad t_{1,2}^TBt_{1,2} = (\mp i,1,0)\cdot \begin{pmatrix} g & k & l \\ k & h & m \\ l & m & n \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\mp i\\1\\0\end{pmatrix} =(h-g)\mp i(2k) $$
Así que si el punto de $p$ debería ser un objetivo, entonces las dos ecuaciones anteriores tienen que ser satisfechos. Si todos los coeficientes son reales, que significa que usted necesita $(h-g)=0$ $k=0$ para el dual de la matriz. Así que en este punto de vista, que son esencialmente la imposición de una restricción a la intersección de dos hyperplanes en este espacio de todas las cónicas.
Es posible traducir las condiciones de nuevo en condiciones equivalentes a las de la primera matriz, al menos para los no-degenerada caso. Si $B=\operatorname{adj}(A)$, entonces usted tiene
$$ 0=h-g= \begin{vmatrix}a&d\\d&f\end{vmatrix}\begin{vmatrix}b&e\\e&f\end-{vmatrix}= (a-b)f-d^2+b^2 \qquad 0=k= \begin{vmatrix}c&e\\d&f\end-{vmatrix}= de-cf $$
Esto se ve más complicado, pero desde el espacio de la doble cónicas deben tener la misma topología del espacio de primal cónicas (a menos que incluya cónicas degeneradas pero considerar cónicas degeneradas con el mismo primordial de la matriz a ser el mismo, no importa el doble), esto todavía debe ser esencialmente una restricción a dos subespacios, como en la visión dual de, al menos, topológicamente hablando.
Si usted desea excluir a los degenerados cónicas, se podría expresar que el uso de cualquiera de las siguientes desigualdades:
$$0\neq\det(A)=abf+2cde-ae^2-bd^2-fc^2\\ 0\neq\det(B)=ghn+2klm-gm^2-hl^2-nk^2$$
Por último, pero no menos importante, si usted desea excluir a los cónicos sin puntos reales en ellos, que los miraba a los valores propios de la matriz. Si dos de los autovalores tienen un signo y un tercer autovalor tiene el signo opuesto, entonces usted tiene un real y no degenerada cónica. Si todos los tres signos son iguales, tiene un no-degenerada cónica sin soluciones reales. Si uno o los dos valores propios son cero, entonces usted tiene una cónica degenerada. No sé cómo traducir estos autovalor consideraciones en la topología.
