Datos experimentales sobre la distribución de la masa de una galaxia

Question

Mi objetivo aquí no es discutir la materia oscura en general. Sé que hay muchos otros indicios observacionales que nos llevan hacia la materia oscura. Mi objetivo es simplemente entender un poco mejor este argumento.

Uno de los argumentos a favor de la materia oscura son las velocidades de rotación observadas de las estrellas en la parte exterior de las galaxias.

Si suponemos que la mayor parte de la masa de las galaxias se encuentra en su interior, podemos despreciar la masa exterior y obtener $$ \frac{mv²}{r}=G\frac{mM(<r)}{r^2} , $$

donde $M(<r)$ denota la masa dentro del radio $r$ (Esto se hace, por ejemplo, en Libro Perkins ). El resultado es

$$ v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}, $$

que no se observa en los experimentos (véase, por ejemplo aquí ).

Sin embargo la mayoría de las Galaxias son discos planos con un centro esférico en el medio y por lo tanto tal vez podemos asumir en la región exterior para la densidad de masa $\rho \propto \frac{1}{r}$ lo que parece razonable porque la densidad de masa de una galaxia debería disminuir en las regiones exteriores.

Entonces tenemos para la masa dentro del radio $r$

$$ M(<r) = \int_0^r \rho(r') dA = \int_0^r \frac{C}{r'} r' dr' d\phi = 2 C \pi r $$

y, por tanto, utilizando la mecánica newtoniana

$$ \frac{mv²}{r}=G\frac{mM(<r)}{r^2}= G\frac{m2 C \pi r}{r^2} $$ $$ \rightarrow v \propto const $$

Esto es exactamente lo que se observa en los experimentos.

Obviamente en algún lugar este argumento debe ser defectuoso y mi mejor apuesta sería $\rho \neq \frac{C}{r}$ . El enfoque estándar parece ser asumir algo de la forma $\rho \propto e^{-C R} $ . ¿Qué datos experimentales demuestran que $\rho \neq \frac{C}{r}$ y, por tanto, que necesitamos materia oscura para explicar otros fenómenos.

Answer 1

Pues hay problemas en su pregunta y en su análisis. En primer lugar, recientemente se han planteado algunas cuestiones sobre este tratamiento "kepleriano" de la materia oscura. El teorema de la cáscara , que el campo gravitatorio es equivalente al debido a la masa dentro del radio $r$ y que se pueden ignorar las masas exteriores es sólo cierto para distribuciones de masa esféricamente simétricas o casos en los que la mayor parte de la masa se concentra centralmente dentro del radio $r$ . Cualquier libro que no lo señale incurre en una grave omisión, probablemente en aras de simplificar el argumento. Trabajo real en este ámbito no hacer esa suposición (por ejemplo Sofue 2011 ).

Incluso adoptando el teorema de la cáscara, no implica $ v \propto r^{-1/2}$ implica $v \propto (M(R)/r)^{1/2}$ .

El argumento correcto a favor de la materia oscura es que si suponemos que la materia y el gas visibles trazan la masa y tienen una cierta relación masa-luz, entonces nos encontramos con que (i) las velocidades de rotación de las estrellas y del gas son demasiado altas y que (ii) cabría esperar que las velocidades disminuyeran a medida que $r^{-1/2}$ en radios grandes mientras que, en realidad, parece que se mantienen estables o incluso aumentan.

Este último punto funciona porque la materia visible implica que apenas hay masa en radios grandes, por lo que la aproximación kepleriana es válida allí.

Ahora, en cuanto a su modelo. Si $\rho \propto r^{-1}$ en conchas, esto implicaría que los ánulos con un grosor dado $\Delta r$ ¡contienen cantidades similares de masa! $\Delta M = 2\pi r z\rho\,\Delta r$ (donde $z$ es el grosor del disco). Así, en lugar de tener una galaxia cuyo integrado acimutalmente luminosidad disminuyó con la distancia desde el centro, su Galaxia, sin materia oscura tendría que tener una luminosidad integrada constante, en función del radio a medida que te alejas del centro (o para satisfacer mis críticas de abajo, si estás observando la Galaxia de frente, la luminosidad superficial de la luz caería como sólo $r^{-1}$ ). Y, por supuesto, sin definir algún tipo de radio de corte, ¡la masa total de su Galaxia pronto se haría grande! Pero.., si asumes que la mayor parte de esta materia es oscura entonces sí que se podría explicar la curva de rotación de la Galaxia utilizando dicha ley de densidad.

A continuación muestro un ejemplo (utilizando el brillo superficial) para M31 (tomado de Corteau et al. (2012) ), utilizando varios indicadores de luminosidad, en los que he marcado un $\rho \propto r^{-1}$ dependencia. A $r^{-1}$ funciona razonablemente en la parte interior del disco (en realidad es un poco menos profundo que eso debido a la protuberancia), pero en algún momento $r> 10$ kpc, la materia luminosa simplemente se agota y la distribución de intensidad observada se vuelve más pronunciada que $r^{-1}$ .

De hecho, la receta más utilizada para la materia oscura es la Navarro, Frenk & White perfil de la materia oscura, $$ \rho(r) = \frac{\rho_0 R_s}{r(1 + r/R_s)^2}, $$ donde $R_s$ es una escala de longitud (del orden de 15 kpc para la Vía Láctea y M31). Cuando $r< R_s$ Este hace escala como $1/r$ y hace explican la curva de rotación plana

Es decir, su análisis de que un $\rho \propto 1/r$ relación conduce a una curva de rotación plana es aproximadamente correcta. Sin embargo, el hecho de que la intensidad en nuestra Galaxia (y en otras) caiga más abruptamente que $r^{-1}$ en las partes exteriores de la Galaxia lleva a la conclusión de que la materia es... ¡oscura! También hay un problema adicional con la normalización. Incluso en las partes internas del disco, la masa que implica la materia luminosa es insuficiente (por factores de unos pocos) para explicar las velocidades de rotación.

Así que ahora para responder a la última parte de su pregunta - ¿cómo sabemos que $\rho$ (de materia luminosa) no cae como $1/r$ en el disco. Sólo es cuestión de contar las estrellas y estimar la contribución del gas a partir de los sondeos HI (y del polvo, aunque éste es insignificante). No existe una única fuente de esta información (aunque aquí está un ejemplo escogido al azar que utiliza el recuento de números del SDSS), se aglomera a partir de muchos sondeos diferentes en distintas longitudes de onda y se construye para dar una imagen coherente. Los supuestos subyacentes son que entendemos los tipos y la mezcla de estrellas que componen las poblaciones estelares en general. Nuestra comprensión podría ser incorrecta, pero la forma en que tendría que ser incorrecta para explicar las curvas de rotación es tener muchas (y me refiero a órdenes de magnitud) más estrellas débiles que aportan masa pero no luz en radios grandes (es decir, materia oscura, aunque bariónica, lo que no ayuda con otras pruebas de materia oscura).

Por ejemplo, la luminosidad de los datos de M31 mostrados anteriormente desciende de forma más pronunciada que $r^{-1}$ . Si tuviera que extrapolar un $r^{-1}$ relación, entonces para asegurar que la masa hizo ir como $r^{-1}$ se necesitaría que la relación masa/luminosidad aumentara en algunos factores de diez. Para ello se necesitarían órdenes de magnitud más de estrellas débiles por estrellas brillantes de las que se observan en el disco local.