Sea a y B $n \times n$ real de las matrices con el mismo polinomio mínimo.

Question

Deje $A$ $B$ $n \times n$ real de las matrices con el mismo polinomio mínimo. Entonces

(i) $A$ es similar a $B$.

(ii) $A-B$ es singular.

(iii) $A$ es diagonalizable si $B$ es así.

(iv) $A$ $B$ viaje.

Creo que sólo (iii) es la opción correcta, similar matrcies tiene las mismas características polinomio, pero el recíproco no puede ser verdad, $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}\ne \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ a pesar de que tienen el mismo minpoly $x(x-1)$ el mismo dos matrices funciona como un contador de ejemplo (ii), estoy en lo cierto ?

Answer 1

Estás en lo correcto, y aquí están los dos que faltan contraejemplos:

(i) $\begin{pmatrix}1&1\\&1\\&&1\\&&&1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}1&1\\&1\\&&1&1\\&&&1\end{pmatrix}$ ambos tienen un mínimo de polinomio $(x-1)^2$, pero no son similares. (Por ejemplo, similar matrices tienen la misma dimensión de los subespacios propios correspondientes.)
(ii) Tome $A=\begin{pmatrix}1\\&2\end{pmatrix}$$B=\begin{pmatrix}2\\&1\end{pmatrix}$, $A-B=\begin{pmatrix}-1\\&1\end{pmatrix}$ es no singular.
(iii) DonAntonio proporciona una excelente explicación de por qué esto es cierto en este comentario.
(iv) Su contraejemplo, que esto no es cierto, es correcto.