Singular Campos Vectoriales como Base los Elementos en Contacto con los Planos.

Question

Estoy tratando de generar ejemplos específicos de las estructuras de contacto en $\mathbb R^3$, pero me estoy quedando en algo extraño. Parece que el contacto con los planos asociados a la estructura (utilizando coordenadas cilíndricas en $\mathbb R^3$)

EDICIÓN/CORRECCIÓN: Mis disculpas a todos los que lean esto, para perder su tiempo; el contacto real de la estructura es, en coordenadas cilíndricas $( r, \theta, z)$: $$Ker[\cos( \pi r)dz+ \sin(\pi r) d \theta], $$ ( la corrección: original era: $Ker (cos(\pi r) dr + sin (\pi r) d\theta).$ Para ser más rigurosos en este momento, se compute $ w \wedge dw$: tenemos $dw=-\pi sin (\pi r)dzdr+\pi cos(\pi r)d\theta dr$. Vemos en la expansión de $w \wedge dw$ que tenemos dos coeficientes de $d\theta dz dr$ que no se cancelan uno al otro; que realmente conseguir a $\pi dzd\theta dr \neq 0$.)

Sin embargo, el problema sigue siendo después de la corrección:

Conjunto $$(\cos( \pi r)dz+ \sin(\pi r) d \theta )(a_z \partial z+a_{\theta} \partial \theta ):=0.$$ (I got rid of the $\pi$ )

A continuación, llegamos $a_z cos( \pi r)+ a_{\theta} sin (\pi r)=0$.

¿Cómo podemos evitar dividiendo aquí cuando nos encontramos con una base? Podemos elegir, por ejemplo, $a_{\theta}=1$ , luego tenemos

$a_z cos (\pi r)+sin(\pi r)=0 $ .

Y, ahora, la solución para $a_z$ , todavía tenemos que dividir , para obtener $a_z =-tan (\pi r )$,

y una base {$(\partial r,0,0),(0,\partial \theta, -tan(\pi r) \partial z)$}

Y todavía tenemos singularidades siempre $\pi r= \pi/2+k \pi$ ; $k $ en $\mathbb Z$ , es decir, siempre que $r=1/2+k$

¿Cómo podemos lidiar con esto?

Answer 1

El contacto con la estructura que usted está considerando está definido en $\mathbb R^3$ sólo lejos de la $z$eje- ( $r=0$ ) y no puede ser extendida a todos los de $\mathbb R^3$.

Una manera de "ver" esta (y también demostrarlo), es considerar el campo de líneas perpendiculares a la dirección de contacto de los aviones (núcleos de $\alpha$). Considere la posibilidad de $N=r\partial_\theta +\partial_z$. Usted puede comprobar que esto $N$ constante de la norma (raíz cuadrada de 2), y es perpendicular a la dirección de contacto de los aviones, hasta la adición de un buen campo de vectores en $\mathbb R^3$ que se desvanece a lo largo de la $z$-eje. Esto significa que cerca de la $z$-eje, su contacto con los planos de "parecerse a" los planos perpendiculares a $N$. Entonces es muy fácil para quedar convencido, tanto de forma intuitiva y formalmente, que el campo de las líneas que $N$ genera no puede extenderse a las $z$-eje, por lo tanto ni su campo de contacto de los aviones.

Como para encontrar un par de campos vectoriales en $\mathbb R^3$, lejos de la $z$-eje, que abarcan en cada punto de contacto del plano de contacto de la estructura, que, básicamente, tienen. Multiplique su segundo vector campo por $\cos \theta$. Usted consigue el par de campos vectoriales $\partial_r,$ $ \cos(\pi r)\partial_\theta-\sin(\pi r)\partial_z$. Tenga en cuenta que ninguno de ellos puede ser extendido a la $z$-eje.

Como general para el problema de encontrar un par de campos vectoriales en algunos subconjunto $U\subset\mathbb R^3$, abarcando en cada punto de contacto plano de un contacto determinado estructura en $U$ (o, más en general, sobre algunos de 3 dimensiones del colector), no siempre puede ser hecho. Depende de las propiedades topológicas de $U$ y el contacto específico de la estructura. Esta es una (leve) topológica problema, cubierto en muchos libros de texto, sobre la trivialidad de la plano-paquete definido por el contacto de la estructura (véase, por ejemplo, Milnor+Stashef).

Para $\mathbb R^3$, siendo un contráctiles espacio, cualquier vector paquete es trivial, por lo tanto el contacto con los planos de cualquier contacto con la estructura puede ser atravesado por un par de definido globalmente campos vectoriales.

Para el $U$ de su problema (complemento de la $z$-eje), a diferencia de su ejemplo de contacto de la estructura, hay estructuras de contacto cuyo contacto aviones no puede ser atravesado por un par de campos vectoriales; tomemos, por ejemplo, el formulario de contacto $\cos(2\theta)dr-\sin(2\theta)dz$. Tenga en cuenta que este formulario de contacto no es globalmente bien definido en $U$, sin embargo, la distribución de contacto de planos definidos por que es bien definido.

Espero que esta explicación es útil para usted.