¿Una paradoja? ¿O una definición incorrecta?

Question

Sea $A$ un anillo conmutativo con $1 \neq 0$. Entonces escribiendo $V(1) = V((1))$, tenemos $\bigcap_{\mathfrak{p} \in V(1)}\mathfrak{p} = \sqrt{(1)} = (1)$.

Pero entonces $\bigcap_{\mathfrak{p} \in V(1)}\mathfrak{p} = \{x : x \in \mathfrak{p} \text{ para todos los ideales primos } \mathfrak{p} \superset (1)\} \superset \text{Conjunto}$, donde la última contención se justifica ya que no hay un ideal primo que contenga $(1) = A$, así que $x$ puede ser cualquier cosa por verdad vacía.

Tuve una confusión similar en mi curso de topología, pero la respuesta que escuché de mi profesor fue que "por supuesto, $A$ es el universo que consideramos," así que $\bigcap_{\mathfrak{p} \in V(1)}\mathfrak{p} = \{x \in A : x \in \mathfrak{p} \text{ para todos los ideales primos } \mathfrak{p} \superset (1)\} = (1)$.

Pero entonces, ¿por qué la definición "pura" de (ingenua) teoría de conjuntos falla y nos obliga a considerar a $A$ como el espacio ambiente?

Answer 1

Considera la fórmula definitoria para la clase $\bigcap\cal S$, donde $\cal S$ es una colección de conjuntos:

$$\bigcap\mathcal S=\{x\mid\forall S\in\mathcal S, x\in S\}$$

Cuando $\cal S=\varnothing$, la suposición se cumple por cada objeto en el universo. Y como sabemos, la colección de todos los objetos en el universo no es un conjunto. Por lo tanto, $\bigcap\varnothing$ no es un conjunto, no "existe" en el sentido que queremos que exista.

Pero si acordamos que el espacio ambiente es $A$ mismo, nuestro anillo, entonces esto es simplemente todos los objetos que están en $A$, es decir $A$ en sí mismo. Dado que $A$ existe, es un conjunto, está bien.

Cuando acordamos un espacio ambiente, en realidad decimos que sea cual sea la fórmula utilizada para elegir los elementos, estos siempre serán miembros de ese espacio ambiente. Entonces si acordamos que $A$ es nuestro espacio ambiente y $\cal S$ es una colección de conjuntos, en realidad escribimos:

$$\bigcap\mathcal S=\{x\in A\mid\forall S\in\mathcal S, x\in S\}$$

Ahora la intersección vacía sería $A$ mismo, el cual asumimos que es un conjunto.

También ver:

1. intersección del conjunto vacío y verdad vacua
2. Intersección unaria del conjunto vacío

Answer 2

Creo que lo siguiente es lo que Asaf Karagila quiere decir (por supuesto, no voy a seleccionar mi respuesta).

Definición. Sea $\{X_{\alpha}\}_{\alpha \in I}$ una colección de subconjuntos de $A$. Definimos $\bigcap_{\alpha \in I}X_{\alpha} := \{x \in A : x \in X_{\beta} \text{ para todo } \beta \in I\}$.

Ahora, el problema que tuve puede resolverse leyendo "$\mathfrak{p} \in V(1)$" como "ideal primo $\mathfrak{p}$ de $A$ que contiene $(1)$", que nuevamente se puede parafrasear como "un subconjunto $\mathfrak{p}$ de $A$ que es un ideal primo y contiene $(1)$".