¿Cómo puedo calcular el límite sin utilizar la regla de L'Hospital

Question

$$ \lim_{x \to 2} \frac{1-\sqrt{1-\sqrt{4x-8}}}{1-\sqrt{1-\sqrt{\frac{x-2}{x+2}}}} $$

He tratado de multiplicar con los conjugados o el uso de variables auxiliares, pero no llegan a todos los simple

Answer 1

En primer lugar, vamos a $x=u+2$ para obtener

$$\lim_{u\to0}\frac{1-\sqrt{1-\sqrt{4u}}}{1-\sqrt{1-\sqrt{\frac u{u+4}}}}$$

El numerador puede ser manejado con el binomio de expansión:

$$\sqrt{1-2\sqrt u}=1-\sqrt u+\mathcal O(u)$$

Y de la misma manera que el denominador:

$$\sqrt{1-\sqrt{\frac u{u+4}}}=1-\frac12\sqrt{\frac u{u+4}}+\mathcal O\left(\frac u{u+4}\right)$$

lo que nos lleva a la conclusión de que

$$\lim_{u\to0}\frac{1-\sqrt{1-\sqrt{4u}}}{1-\sqrt{1-\sqrt{\frac u{u+4}}}}=\lim_{u\to0}\frac{\sqrt u+\mathcal O(u)}{\frac12\sqrt{\frac u{u+4}}+\mathcal O\left(\frac u{u+4}\right)}=\lim_{u\to0}\frac{1+\mathcal O(\sqrt u)}{\frac1{2\sqrt{u+4}}+\mathcal O\left(\frac{\sqrt u}{u+4}\right)}=\frac1{\frac1{2\sqrt4}}=4$$

Answer 2

$$\lim_{x \to 2} \frac{1-\sqrt{1-\sqrt{4x-8}}}{1-\sqrt{1-\sqrt{\frac{x-2}{x+2}}}}$$

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Vamos a dejar que $z = x-2$ (o $x = z + 2$). A continuación, obtenemos

$$\lim_{z \to 0} \frac{1-\sqrt{1-2\sqrt z}}{1-\sqrt{1-\sqrt{\frac{z}{z+4}}}}$$

\begin{align} 1-\sqrt{1-2\sqrt z} &= \dfrac{1-(1-2\sqrt z)}{1+\sqrt{1-2\sqrt z}} \\ &= \dfrac{2\sqrt z}{1+\sqrt{1-2\sqrt z}} \end{align}

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\begin{align} \frac{1}{1-\sqrt{1-\sqrt{\frac{z}{z+4}}}} &=\frac{1+\sqrt{1-\sqrt{\frac{z}{z+4}}}} {1-\left(1-\sqrt{\frac{z}{z+4}}\right)} \\ &=\frac{1+\sqrt{1-\sqrt{\frac{z}{z+4}}}} {\sqrt{\frac{z}{z+4}}} \\ &=\frac{\sqrt{z+4}+\sqrt{z+4-\sqrt{z(z+4)}}} {\sqrt{z}} \\ \end{align}

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\begin{align} \dfrac{1-\sqrt{1-\sqrt{4x-8}}} {1-\sqrt{1-\sqrt{\frac{x-2}{x+2}}}} &= \dfrac{2\sqrt z} {1+\sqrt{1-2\sqrt z}}\cdot \dfrac{\sqrt{z+4}+\sqrt{z+4-\sqrt{z(z+4)}}} {\sqrt{z}}\\ &= 2\dfrac{\sqrt{z+4}+\sqrt{z+4-\sqrt{z(z+4)}}} {1+\sqrt{1-2\sqrt z}} \end{align}

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Si ahora nos vamos a $z=0$, obtenemos

\begin{align} \lim_{x \to 2} \frac{1-\sqrt{1-\sqrt{4x-8}}} {1-\sqrt{1-\sqrt{\frac{x-2}{x+2}}}} &= 2 \lim_{z \to 0} \dfrac{\sqrt{z+4}+\sqrt{z+4-\sqrt{z(z+4)}}} {1+\sqrt{1-2\sqrt z}} \\ &= 2 \lim_{z \to 0} \dfrac{2+2}{1+1} \\ &= 4 \\ \end{align}

Answer 3

SUGERENCIA:

Necesitamos $x\to2^+$

$$\lim_{x \to 2}\frac{1-\sqrt{1-\sqrt{4x-8}}}{1-\sqrt{1-\sqrt{\dfrac{x-2}{x+2}}}}=\lim_{x \to 2}\dfrac{2\sqrt{x-2}}{\sqrt{\dfrac{x-2}{x+2}}}\cdot\dfrac{1+\sqrt{1-\sqrt{\dfrac{x-2}{x+2}}}}{1+\sqrt{1-\sqrt{4x-8}}} $$

Cancelar $\sqrt{x-2}$ $\sqrt{x-2}\ne0\iff x\ne2$ $x\to2$

Se puede tomar desde aquí?

Answer 4

SUGERENCIA: multiplicar el numerador y el denominador por $$1+\sqrt{1-\sqrt{\frac{x-2}{x+2}}}$$ y por $$1+\sqrt{1-\sqrt{4x-8}}$$ y simplificar el término

Answer 5

Deje $u = (4x-8)^{1/2}, v = [(x-2)/(x+2)]^{1/2}.$ La expresión es igual a

$$\frac{u}{v}\left (\frac{1-(1-u)^{1/2}}{u}\right )\big /\left(\frac{1-(1-v)^{1/2}}{v}\right ).$$

Ahora $u/v = 2(x+2)^{1/2} \to 4$ $x\to 2^+.$ Debido a que tanto $u,v \to 0$ $x\to 2^+,$ ambas fracciones en paréntesis enfoque de la misma distinto de cero límite, como se puede comprobar mediante el conjugado truco, o simplemente por el reconocimiento de la definición de la derivada de $(1-u)^{1/2}$ $0.$ Se deduce que el límite es de $4\cdot 1=4.$