$\bigcap\limits_{\alpha\in I}X_\alpha$ es homeomórficos a un subespacio cerrado de $\prod\limits_{\alpha\in I}X_\alpha$

Question

Deje $Y$ es un espacio topológico y para $\alpha\in I$, $X_\alpha\subset Y$. A continuación, $\bigcap\limits_{\alpha\in I}X_\alpha$ es homeomórficos a un subespacio cerrado de $\prod\limits_{\alpha\in I}X_\alpha$.

Mi principal problema en la demostración de esta proposición es closedness. Gracias por cualquier consejo.

Answer 1

Suponga que $Y$ es de Hausdorff. A continuación, considere la posibilidad de la diagonal $$\Delta_Y:=\{(..,y,y,y,..)_\alpha\,\mid\, y\in Y\}\ \subseteq Y^I$$ Es cerrado, porque siempre $x=(x_\alpha)\notin \Delta_Y$,$x_\alpha\ne x_\beta$, por lo que hay son distintos abrir conjuntos de $U$$V$$x_\alpha$$x_\beta$, por lo que $$x\in Y\times Y\times \dots\times U\times\dots\times V\times\dots\times Y\times Y\times\dots$$ que es abierto y discontinuo de $\Delta_Y$.

Por lo tanto, tenemos que $\Delta_Y\,\cap\,\prod_\alpha X_\alpha$ es cerrado en $\prod_\alpha X_\alpha$ w.r.t. a la topología de subespacio. Y, finalmente, $$\Delta_Y\,\cap\, \prod_\alpha X_\alpha\ =\ \Delta_{\left(\bigcap_\alpha X_\alpha \right)} \ \cong\ \bigcap_\alpha X_\alpha\,.$$