Raíces de funciones / polinomios

Question

Por favor, disculpe la naivity de esta pregunta, pero es un concepto que yo no he sido capaz de captar en su totalidad.

Mi pregunta es, ¿por qué son las raíces de una función, o un sistema de polinomios tan importante? ¿Por qué nos dicen mucho acerca de la función de la misma? Por qué, por ejemplo, los ceros de la función zeta mantenga dentro de ellos la información acerca de tantos diferentes número de problemas teóricos? ¿Por qué, dicen, x elevado a la potencia de ciertas raíces, codificar aparentemente no relacionadas con la información?

Puedo entender que en un problema a problema, pero no puede realmente comprender el concepto en un nivel general.

Respuestas en inglés sería más apreciado!

Si esta pregunta es demasiado general o fuera de tema, voy a eliminar conforme a lo solicitado.

Answer 1

A menudo es muy importante para nosotros saber cuando dos funciones son iguales; es decir, para resolver una ecuación de $f(x) = g(x)$.

Resulta que, para simplificar el problema si reescribir la pregunta como $f(x) - g(x) = 0$; por lo que si se aprende a resolver ecuaciones $h(x) = 0$, lo que también nos permite resolver ecuaciones de $f(x) = g(x)$.

Como un ejemplo de la simplificación, imagínese si usted tenía que aprender la fórmula cuadrática como

Para solucionar $a x^2 + b x + c = d x^2 + e x + f$ al $a \neq d$, las raíces son $$ x = \frac{(e-b) \pm \sqrt{ (e-b)^2 + 4 (a-d)(f-c) }}{2(a-d)} $$

Gah, mucho peor!

---

Hay una fuerte analogía entre la factorización de enteros en un producto de números primos y factorización de polinomios en un producto de polinomios irreducibles. Desde la irreductible factores corresponden a las raíces del polinomio, esto muestra que la búsqueda de las raíces de un polinomio es como encontrar los factores primos de un número entero. Del mismo modo, la búsqueda de las raíces y de los polos de una función racional es como encontrar la factorización en primos (que permite a los exponentes negativos) de un número racional.

(las raíces pueden estar en una extensión; por ejemplo, las raíces de la irreductible real polinomio $x^2 + 1$ son números complejos)

Las propiedades generales de las funciones analíticas, aproximadamente, funciones iguales a las de sus series de Taylor -- comparten muchas propiedades con los polinomios. Técnicas para trabajar con polinomios suele salir generalizada para trabajar con funciones analíticas... como el de hallar los ceros y polos.

---

El análisis de la función zeta es todo un tema en sí mismo.

Answer 2

Para un polinomio $p(x)$ grado $n$, si conocemos todas las $n$ (complejo) las raíces de $r_1, r_2, r_3, ..., r_n$, donde algunos pueden ser iguales, sabemos exactamente lo que el polinomio es:

$$p(x) = C(x-r_1)\cdot(x-r_2)\cdot(x-r_3)\cdot...\cdot(x-r_n)$$

Así, en un sentido, toda la información sobre el polinomio está contenido "dentro de" las raíces del polinomio.

Answer 3

La importancia de los ceros de las funciones entra en juego cuando empiezas a meterte en análisis complejo, donde en lugar de lidiar con las funciones de la vida cotidiana de los números, tiene que tratar con funciones de números complejos. En análisis complejo, tanto en ceros y sus opuestos (llamados polos, para que $1/f(z)) = 0$) permite conocer casi todo sobre la función. Casi todo lo que hacer es hablar acerca de los postes o hablar acerca de los ceros y de los que puede resolver mucho más difícil de problemas como encontrar infinitas sumas e integrales.

La idea principal es que muchas veces se puede escribir una función como un producto de otro, funciones simples. Este es el mismo que el de la factorización de polinomios, donde se puede factorizar un polinomio en términos de funciones muy simples como $x^2-1 = (x+1)(x-1)$. Debido a que el lado derecho es un producto de dos funciones, que sólo puede ser cero cuando cualquiera de las $x+1=0$ o $x-1=0$.

Va todo el camino, si usted tiene una buena función $f(z)$ (sin polos y diferenciable), se puede factorizar como $g(z)=f(z) (z-a_1)(z-a_2)...$ donde $\{a_i\}$ es un conjunto de números complejos (posiblemente repetidos), y $f(z)$ es una función sin ceros. En particular, $f(z)$ va a ser una constante o un producto de $e^{(z^k)}$'s. Esta es la factorización de Weierstrass teorema. Un montón de tiempo sin embargo, el $f(z)$ sólo será una constante, lo que significa que la mayoría de la información necesaria para definir la función se encuentra con el lugar donde los ceros, y su multiplicidad (el número de repeticiones de un cero en la anterior factorización). Hay tecnicismos que preocuparse, pero voy a omitir para mayor claridad.

En el caso de la de Riemann Zeta función de $\zeta(z)$, el punto en el que los números primos y la importancia de ceros que entra en juego es al escribir la función como un producto. $\zeta(z)$ está definido en el inicio como:

$$\zeta(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^z}$$

Por lo $\zeta(2) = 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...=\frac{\pi^2}{6}$. La fabricación de un producto de da (después de algunos trucos inteligentes):

$$\zeta(z) = \prod_{\mbox{$p$ prime}} \frac{1}{1-p^{-z}}=\frac{1}{1-2^{-z}}\frac{1}{1-3^{-z}}\frac{1}{1-5^{-z}}...$$

Así que los ceros de la función zeta convertido relacionados con los números primos (aunque no en forma recta hacia adelante de manera dado que los factores anteriores no son simple como $(z-c)$). Hay más detalles, como, por ejemplo, la definición de $\zeta(z)$ tiene que ser extendida aquí, pero aquí es donde comienza.

Si te metes en el análisis complejo, usted será capaz de resolver las integrales y sumas que no se podía hacer de otra manera. Como conseguir que la respuesta de $\frac{\pi^2}{6}$, me di cuenta de lo que había calculado en un análisis complejo de la clase (se trataba de factorización $\sin(z)/z$).