Demostrar que existen infinitos números primos con el resto de 2 cuando se divide por 3

Question

Necesito demostrar que existen infinitos números primos con el resto de 2 cuando se divide por 3. Comencé a cabo de manera similar a Euclides clásico de prueba de un número infinito de números primos:

Supongamos que sólo hay un conjunto finito de números primos con el resto de 2 cuando se divide por 3, entonces podemos escribir su producto como:

$$ P = q_1 \cdot q_2 \cdots q_r, \qquad \text {for some integer } r, = $$ $$ (3q_1+2)\cdot(3q_2+2)\cdots(3q_r+2), $$ for integers $q_r$.

Esto es donde estoy atascado. No sé cómo llegar a semejante contradicción, como Euclides hizo cuando se considera $P$+$1$ y cómo la $q_i$'s no podía dividir $P$+$1$ ya que divide $P$. (Si se divide $P$+$1$ luego se dividiría $P$$1$, donde dividiendo $1$ es la contradicción). Cualquier idea sobre cómo puedo llegar a semejante contradicción?

Origen de las escuelas Elementales de la Teoría de números - Jones - p28 - Ejercicio 2.6

Answer 1

Deje $q_1,q_2,\dots,q_n$ ser impares, números primos de la forma $3k+2$. Considerar el número de $N$, donde $$N=3q_1q_2\dots q_n+2.$$ Es claro que ninguno de los $q_i$ divide $N$, $3$ no divide $N$.

Desde $N$ es impar y mayor que $1$, es un producto de uno o más de los números primos impares. Vamos a demostrar que al menos uno de estos números primos es de la forma $3k+2$.

El primer divisores de $N$ no puede ser todo de la forma $3k+1$. Para el producto de un número cualquiera (no necesariamente distintos) de los números primos de la forma $3k+1$ es de la forma $3k+1$. Pero $N$ no es de la forma $3k+1$. Para algunos el primer $p$ de la forma $3k+2$ divide $N$. Ya hemos visto que $p$ no puede ser uno de $q_,\dots,q_n$. De ello se deduce que, dado cualquier colección de $\{q_1,\dots,q_n\}$ de los números primos de la forma $3k+2$, hay un primer $p$ de la misma forma que no está en la colección. Por lo tanto el número de números primos de la forma $3k+2$ no puede ser finito.

Answer 2

$3P - 1$ es un prime o tiene al menos un factor primo $q \equiv 2 \pmod 3.$ La razón de esto es que el producto de cualquier número de números primos que se $\equiv 1 \pmod 3$ es de nuevo $\equiv 1 \pmod 3.$, por Lo que, desde el $3P - 1 \equiv 2 \pmod 3,$ sabemos que hay algunos $q$ como se describe.

Tenga en cuenta que $$ \gcd(3P-1,P) = 1, $$ so the new $q$ cannot divide $P$ y por lo tanto no es igual a ninguno de la lista original de los números primos.

Answer 3

Deje $N > 2$ ser un número entero. Temprano en el Capítulo 10 de estas notas, en p120 como Teorema 121, explico cómo Euclides prueba de la infinitud de los números primos pueden ser muy ligeramente modificado para probar la siguiente generalización:

Hay infinitos números primos $p$ tal que $p$ es no de la forma $kN+1$.

Al $N = 3$, esto significa que hay infinitamente primos que son de la forma $3k$ o $3k+2$. Desde allí es sólo uno de los primos de la forma $3k$, esto contesta a tu pregunta.

(Las notas van a mencionar que esencialmente el mismo argumento prueba que para cualquier subgrupo $H$$(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^{\times}$, hay una infinidad de números primos $p$ tal que la reducción de $p$ modulo $N$ no no mentira en $H$.)

Answer 4

Dividirlo en dos casos, dependiendo de la paridad de $r$. Comenzar mostrando que si $r$ es incluso, $P$ tiene un resto de $1$ cuando se divide por $3$, mientras que si $r$ es impar, tiene un resto de $2$. En el primer caso muestran que $P+1$ debe tener un primer factor de la forma correcta; en el segundo caso, considere la posibilidad de $P+3$ lugar.