Esto no es cierto.
(Primero, notacional queja: A todos los demás en el mundo, "$X_n \in L^1(\mu)$" significa "para cada $n$, $\int |X_n|\,d\mu < \infty$" - no dice nada sobre el supremum de las integrales. La palabra correcta para tener $\sup_n \int|X_n|\,d\mu < \infty$ es decir que el $X_n$ "limitado en $L^1$". Y es muy raro el uso de $n$ como un parámetro que van más de un arbitrario (compacto) subconjunto de $\mathbb{R}^k$ (no necesariamente enteros), y la mayoría de la gente podría denotar un conjunto por una carta como $K$ en lugar de $\mathcal{N}$ (que se ve como espacio de Baire).)
Primero vamos a ver por qué no debemos esperar que sea cierto. La suposición de que $Y$ es continua en su primer argumento dice que si $t_n \to t$, $Y(t_n, \cdot) \to Y(t,\cdot)$ pointwise. Si queremos tomar ventaja de algo así como "imagen continua de un compacto es compacto", nos gustaría que en lugar de algo como $Y(t_n, \cdot) \to Y(t, \cdot)$ débilmente en $L^1$, que es muy diferente de la asunción. En particular, gracias a Dunford-Pettis, querríamos $\{Y(t_n, \cdot)\}$ a ser uniformemente integrable.
Así que para un contraejemplo, vamos a tratar de pensar de una familia de funciones, cada localmente delimitado, que converge pointwise pero no es uniformemente integrable. Si ellos fueron uniformemente integrable entonces la Vitali teorema de convergencia diría que también convergen en $L^1$, por lo que queremos que no. Hay dos formas principales en que una familia de funciones que pueden converger pointwise pero no en $L^1$: se puede exprimir la masa en sistemas de pequeña medida, o pueden empujar en masa fuera hasta el infinito. Vamos con la primera, y desde entonces podemos hacer un ejemplo que vive en un espacio de probabilidad (la segunda manera sólo puede ocurrir en un espacio de medida infinita).
Voy a tomar $(\mathbb{X}, \mu)$ a ser la unidad de intervalo de $[0,1]$ con medida de Lebesgue. También, voy a tomar la $m=1$ $K \subset \mathbb{R}^m$ a ser la unidad de intervalo de $[0,1]$, así que realmente estoy buscando una familia de un parámetro de funciones medibles en $[0,1]$.
Deje $f : [0, \infty) \to [0,\infty)$ tienen las siguientes propiedades:
$f$ es continua
$f(0) = 0$
$\int_0^1 f(x)\,dx = 1$
$f = 0$ $[1, \infty)$.
(Por ejemplo, usted puede poner una adecuada golpe dentro de $(0,1)$).
Conjunto
$$Y(t,x) = \begin{cases} \frac{1}{t} f(\frac{x}{t}), & t > 0 \\
0, & t=0.
\end{casos}$$
Sería útil dibujar un boceto de $Y(t,x)$ como una función de la $x$ para varios valores de $t$. La idea es que el $Y(t, \cdot)$ se parece a una altura de rugosidad de la superficie total de 1 apoyó en el intervalo de $[0, 1/t]$, y como $t \to 0$ el golpe es exprimido hasta un punto y guiños por completo.
Claramente, para cada una de las $t$, $Y(t, \cdot)$ es un almacén de la función en $[0,1]$. Un rápido cálculo muestra $\int_{\mathbb{X}} Y(t,x)\,\mu(dx) = \int_0^1 Y(t,x)\,dx = 1$ por cada $t > 0$, y, por supuesto,$\int_0^1 Y(0,x)\,dx = 0$. En particular,$\sup_{t \in K} \int_{\mathbb{X}} |Y(t,x)|\,\mu(dx) = 1 < \infty$, lo $\{Y(t, \cdot) : t \in K\}$ está delimitado en $L^1$.
Ahora me reclama $Y$ es continua en a $t$; es decir, para cada una de las $x$, la función de $t \mapsto Y(t,x)$ es continua. Desde $f$ es continua, es claro que $Y(\cdot, x)$ es continua en cada una de las $t > 0$. Por otra parte, para cada $t < \frac{1}{x}$, $Y(t,x) = 0$ (al $x=0$ esto es válido para cada $t$), lo que en realidad tenemos $\lim_{t \to 0} Y(t,x) = 0 = Y(0,x)$. Por lo tanto $Y(\cdot, x)$ es continua en a$t=0$.
Por lo $Y$ satisface la deseada supuestos. Pero si $\{Y(t, \cdot) : t \in [0,1] \}$ fueron débilmente relativamente compacto, sería uniformemente integrable (por Dunford-Pettis). Desde $Y(t, \cdot) \to Y(0, \cdot)$ pointwise como $t \to 0$, la Vitali teorema de convergencia implica que la $\int_0^1 Y(t,x)\,dx \to \int_0^1 Y(0,x)\,dx$$t\to 0$, con lo cual sabemos que es falso.
También puede ver esto directamente: tome $t_n = 1/n$ o cualquier otro sucesión convergente a 0 (ninguno de cuyos términos en realidad es igual a 0). Supongamos que hay una larga $t_{n_k}$ (que también converge a 0) y un $X^* \in L^1([0,1], \mu)$ tal que $\int_A Y(t_{n_k}, x)\,dx \to \int_A X^*(x)\,dx$ por cada $A \subset [0,1]$ con medida positiva.
Tomando $A = \{X^* < 0\}$, ya que el $Y(t_{n_k}, \cdot) \ge 0$ en todas partes tenemos $\int_A Y(t_{n_k}, x)\,dx \ge 0$ e lo $\int_A X^*(x)\,dx \ge 0$. Llegamos a la conclusión de que $X^* \ge 0$ en casi todas partes.
Tomando $A = [1/n, 1]$, y observando que $Y(t, \cdot) = 0$ $A$ tan pronto como $t < 1/n$, llegamos a la conclusión de que $\int_A Y(t_{n_k}, x)\,dx \to 0$ y, por tanto,$\int_A X^*(x)\,dx = 0$. Es decir, $\int_0^1 1_{[1/n, 1]}(x) X^*(x)\,dx \to 0$. El uso de la monotonía de convergencia llegamos a la conclusión de que $\int_0^1 1_{(0,1]}(x) X^*(x) = 0$. Combinando esto con el hecho de que $\{0\}$ es un conjunto null y $X^* \ge 0 $ en casi todas partes, llegamos a la conclusión de $X^* = 0$ en casi todas partes.
Pero tomando las $A = [0,1]$ y el uso de nuestra suposición de que ninguna de las $t_{n_k}$ son cero, tenemos $\int_A Y(t_{n_k},x)\,dx = 1$ todos los $k$. Por lo tanto $\int_A X^*(x)\,dx = 1$. Esto contradice nuestra conclusión de que el $X^* = 0$ en casi todas partes.
