Resolver el PDE: $u_{xx} - 3u_{xt} - 4u_{tt} = 0$

Question

Se le pide resolver el PDE

$$u_{xx} - 3u_{xt} - 4u_{tt} = 0$$ el uso de la factorización, que consiste en

$$\left( \frac{\partial}{\partial x} - 4 \frac{\partial}{\partial t} \right) \left( \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial t} \right) u = 0$$

Mi intento:

Me llama

$$\left( \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial t} \right) = v$$ y solucionado $$ v_x - 4 v_t = 0$$ haciendo el cambio de variables: $x' = x-4t, \; t' = -4x - t$. Este cambio de variables nos deja con el siguiente "ODA": $$17 u_{x'} = 0 \Rightarrow u(x,t) = f(t') = f(-4x-t) = g(4x+t)$$ donde g y f son funciones arbitrarias de una variable

Para la segunda parte, tenemos el PDE: $$u_x+u_t = g(4x+t)$$

He hecho el siguiente cambio de variables: $x' = x+t, t' = x-t$, y esto nos deja con el siguiente "ODA": $$2u_{x'} = g(4x+t)$$

La respuesta es $$ u(x,t) = c_1(4x+t)+c_2(x-t)$$

Entiendo que la última "ODA" nos dan la solución

$$u(x,t) = \int g(4x+t) dx' + c_2(x-t)$$ pero, ¿por qué es la integral también una función de 4x+t? Donde he cometido un error?

Gracias de antemano!

@Edit: por Favor, no me dan una solución utilizando otra técnica que no es una factorización. Creo que mi error, si es que lo hay, consiste en las variables que estoy eligiendo.

Answer 1

Será útil para ver la "factorización" técnica de separación de variables. Suponga $\,x = \eta+\xi ,\,$ $\,t = \eta-4\xi .\,$ Entonces $$ \begin{cases} x = \eta + \xi\\ t = \eta-4\xi \end{casos} \implica \begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial \xi} = \dfrac{\partial u}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial \xi} + \dfrac{\partial u}{\partial t}\dfrac{\partial t}{\partial \xi} = \dfrac{\partial u}{\partial x} - 4 \dfrac{\partial u}{\partial t} \\ \dfrac{\partial u}{\partial \eta} = \dfrac{\partial u}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial \eta} + \dfrac{\partial u}{\partial t}\dfrac{\partial t}{\partial \eta} = \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial u}{\partial t} \end{casos} $$ Pero, a continuación, $$ \left( \frac{\partial}{\partial x} - 4 \frac{\partial}{\partial t} \right) \left( \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial t} \right) u = \left( \frac{\partial}{\partial \xi} \right) \left( \frac{\partial}{\partial \eta} \right) u = u_{\xi\eta} = 0 $$ Podemos escribir $$ \begin{alignedat}{1} u_{\xi\eta} = 0 & \implies u_{\xi} & = \int u_{\xi\eta} \,d\eta = c_1, \quad u_{\eta} = \int u_{\xi\eta} \,d\xi = c_2,& \\ &\implies u & = \iint u_{\xi\eta} \,d\eta \,d\xi = \int c_1 \, d\xi = c_1\xi + C(\eta)& \\ &\implies u_\eta & = \dfrac{d C}{d\eta} = \int u_{\xi\eta} \,d\eta = c_2 &\\ &\implies C(\eta)\ \ & = c_2 \eta + c_3& \\ &\implies u & = c_1 \xi + c_2 \eta + c_3& \end{alignedat} $$ En ese caso es claro que $$ u = c_1 \xi + c_2 \eta + c_3 = \frac{c_1}{5}\big(x-t \big) + \frac{c_2}{2}\big(4x+t \big) + c_3 $$ Desde $\,c_1,\,$ $\,c_2,\,$ y $\,c_3\,$ son constantes arbitrarias, podemos reescribir la última ecuación como $$ \bbox[5pt, borde:2.5 pt solid #FF0000]{ u = c_1 \left(x-t \right) +c_2 \left(4x+t \right) + c_3 } $$