Paralelogramos y Eje de Simetría

Question

Considera un paralelogramo que no es ni un rombo ni un rectángulo. Es bien sabido que tales formas no tienen un eje de simetría.

¿Hay una prueba simple para esto?

Prefiero una prueba que pueda darle a un niño (~12 años), pero también servirán pruebas más complicadas.

Answer 1

Tal vez esto sea convincente?

1) El eje de simetría interseca uno de los lados en un punto que no es el vértice.

En este caso, al considerar la perpendicular al eje en el punto de intersección del eje y el lado, vemos que el eje tiene que ser perpendicular al lado e intersecciónarlo en el punto medio. En este caso, no es un eje de simetría ya que no interseca el lado opuesto en el punto medio.

2) El eje de simetría interseca un lado en un vértice. Luego, por 1), también interseca el lado opuesto en el vértice, por lo que tiene que ser una diagonal, en cuyo caso, tampoco es un eje de simetría.

Answer 2

Si una simetría empareja dos vértices, entonces los ángulos en esos vértices deben ser congruentes. Una simetría que empareja vértices adyacentes de un paralelogramo requiere que la figura sea un rectángulo: los ángulos adyacentes son suplementarios; si además son congruentes, entonces deben ser ángulos rectos.

Habiendo descartado rectángulos, tu simetría propuesta debe emparejar cada vértice (a) con su contraparte no adyacente, o (b) consigo mismo. En (a), el eje sería el bisector perpendicular de la diagonal entre los vértices emparejados; en (b) el eje contendría el vértice. Si ambos (a) y (b) ocurren, entonces tenemos un vértice (de (b)) en el bisector perpendicular de la diagonal que une otros dos no adyacentes (de (a)); esto implica que tenemos dos bordes adyacentes congruentes, lo que a su vez implica que la figura es un rombo.

Para evitar tanto rectángulos como rombos, debemos tener que el eje proporciona solo simetría-(a), o solo simetría-(b). Un eje de solo simetría-(a) debe ser el bisector perpendicular de ambas diagonales, que (como perpendiculares a ese eje, y estando en el mismo plano de ese eje) por lo tanto deben estar en la misma línea: los vértices de la figura son colineales. Un eje de solo simetría-(b) contiene todos los vértices, haciéndolos colineales (pero en un arreglo diferente al requerido por (a)).

Si se prohíben los paralelogramos "degenerados" con todos los vértices colineales, entonces tienes tu argumento de imposibilidad. Sin embargo, prefiero reconocer las figuras degeneradas como legítimas, y trato de evitar estigmatizarlas siempre que sea posible. (Después de todo, son útiles como pasos intermedios en la transformación suave de una figura en otra. Además, no es como si la "Ley del Paralelogramo de la Adición de Vectores" se volviera inválida cuando los vectores involucrados son linealmente dependientes). Así que, iría tan lejos como para observar que un eje de simetría solo-(a) implica la existencia de un eje de solo-(b) simetría (separado), y viceversa; es decir, hemos determinado una tercera clase de paralelogramos --junto con rectángulos y rombos-- que tienen dos ejes de simetría.

(La consideración de paralelogramos cuyos vértices coinciden se deja al lector.)

Nota: Una simetría axial solo-(a) también se puede realizar con un eje perpendicular al plano del paralelogramo (que no necesita ser degenerado), pero lo has descartado.

Answer 3

Probemos la conversa contrapositiva: si un paralelogramo $ABCD$ tiene un eje de simetría, entonces es un rectángulo o un rombo.

Claramente la imagen de un vértice es un vértice.

Si algunos de los vértices (digamos $A$) se mapea a sí mismo, entonces debe haber otro vértice mapeado a sí mismo (porque de lo contrario, el resto de los vértices deben dividirse en pares por el mapeo). Este otro vértice debe ser $C$, porque si está adyacente a $A$, entonces el eje de simetría es uno de los lados, lo cual es imposible. Por lo tanto, $AC$ es el eje, $B$ se mapea a $D$, por lo tanto $BD$ es perpendicular a $AC$, por lo tanto el paralelogramo $ABCD$ es un rombo.

Consideremos el caso en el que cada vértice se mapea a otro vértice. Si $A$ se mapea a $C$, entonces $B$ debe mapear a $D$, por lo que el eje debería ser una línea perpendicular tanto a $AC$ como a $BD$, lo cual es imposible ya que $AC$ y $BD$ son paralelos. Entonces, $A$ se mapea a un vértice adyacente (sea $B$), $C$ se mapea a $D$, por lo que el eje conecta los puntos medios de $AB$ y $CD$ y es perpendicular a ellos. Esto implica que $AB$ es perpendicular a $CD.

Answer 4

Empezaría señalando que el paralelogramo tiene dos puntos más alejados entre sí que cualquier otro par de vértices. Cualquier simetría debe dejarlos en su lugar o intercambiarlos. Para dejarlos en su lugar, el eje tiene que pasar a través de ellos. Para intercambiarlos, el eje tiene que ser el bisector perpendicular del segmento entre ellos. Por inspección, ninguno es una simetría.