La generación de Funciones de la forma Cerrada de una secuencia

Question

Se nos da la siguiente generación de función : $$G(x)=\frac{x}{1+x+x^2}$$

La pregunta es proporcionar un cerrado fórmula para que la secuencia se determina.

No tengo idea de por donde empezar. El denominador no puede ser factorizado como un producto de dos monomials con coeficientes reales. Cualquier tipo de ayuda para resolver este problema es bienvenida!

Answer 1

De $$G(x)=\frac{x}{1+x+x^2}=\frac{x(1-x)}{(1+x+x^2)(1-x)}=\frac{x-x^2}{1-x^3}$$ vemos que la secuencia es periódica mod $3$. Mediante la comprobación de los primeros términos, $$a_n=\begin{cases}0&\text{if }n\equiv 0\pmod 3,\\ 1&\text{if }n\equiv 1\pmod 3,\\ -1&\text{if }n\equiv 2\pmod 3.\\ \end{casos}$$

Answer 2

De otra manera:

Escribir $$\frac{x}{1+x+x^2}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n,$$

de dónde $$x=(1+x+x^2)\sum_{n=0}^\infty a_nx^n.$$

A partir de aquí $a_0=0, a_1=1, a_n+a_{n-1}+a_{n-2}=0$.

Answer 3

Si desea que la fórmula de Binet para ello se puede resolver la matriz

Configurar la fracción parcial $$\frac{x}{1+x+x^2}=\frac{A}{1-ax}+\frac{B}{1-bx}$$ where $$a=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$ and $$ b=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$$ así que $$A(1-bx)+B(1-ax)$$ La matriz se vuelve \begin{bmatrix} -b&-a&1\\[0.3em] 1&1&0 \end{bmatrix} o

\begin{bmatrix} \frac{1+\sqrt{3}i}{2}&\frac{1-\sqrt{3}i}{2}&1\\[0.3em] 1&1&0 \end{bmatrix} que en forma escalonada reducida es \begin{bmatrix} 1&0&\frac{-\sqrt{3}i}{3} \\[0.3em] 0&1&\frac{\sqrt{3}i}{3} \end{bmatrix}

La forma cerrada, a continuación, se convierte en $$a_n=\frac{-\sqrt{3}i}{3}\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^n+\frac{\sqrt{3}i}{3}\left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)^n$$

$a_0=0$ $a_1=1$, $a_2=-1$, $a_3=0$, $a_4=1$, $a_5=-1$ etc.